【4.2 约数】

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概念

• 约数，又称因数。整数$a$除以整数$b(b\ne 0)$ 除得的商正好是整数而没有余数，我们就说$a$能被$b$整除，或$b$能整除$a$。$a$称为$b$的倍数，$b$称为$a$的约数。

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4.2.1 试除法求约数

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思想

• 从$i=1$开始枚举到$\sqrt{N}$
• $i$和$\frac{N}{i}$即为$N$的约数

模板

const int N=1e6+3;

int res[N];  //存储约数

int cnt;  //记录数量

void get_div(int n){
    
    
    cnt=0;  //初始化
    
    for(int i=1;i<=n/i;i++){
      //从1开始枚举
        if(n%i==0){
    
            res[cnt++]=i;  //将i作为约数
            if(i!=n/i) res[cnt++]=n/i;   //将n/i作为约数
        }
    }
    
    sort(res,res+cnt);  //将约数从小到大排序
    
}

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例题 869. 试除法求约数

原题链接

描述

给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式
输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。

数据范围
1≤n≤100,
2≤ai≤2×109
输入样例：

2
6
8

输出样例：

1 2 3 6 
1 2 4 8 

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e6+3;

int res[N];

int cnt;

void get_div(int n){
    
    
    cnt=0;
    
    for(int i=1;i<=n/i;i++){
    
        
        if(n%i==0){
    
            
            res[cnt++]=i;
            if(i!=n/i) res[cnt++]=n/i;
            
        }
        
        
    }
    
    sort(res,res+cnt);
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    while(n--){
    
        
        int x;
        
        cin>>x;
        
        get_div(x);
        
        for(int i=0;i<cnt;i++) cout<<res[i]<<" ";
        
        cout<<endl;
        
    }
    
    return 0;
    
}

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4.2.2 约数个数

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思想

• 算术基本定理：任何一个大于$1$的自然数$N$,如果$N$不为质数

• 那么$N$可以唯一分解成有限个质数的乘积$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\cdots \times p_i^{a_k}$,且最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子

• 这里$p_1<p_2<p_3\dots p_n$均为质数，其中指数$a_i$是正整数

• 设$d$为$N$的任意一个约数，$d=p_1^{b_1}\times p_2^{b_2}\cdots \times p_i^{b_j}$，其中$0<b_j<a_k$

• 由算术基本定理可知对于$d$中的$p_i^{b_j}$项，$b_j$取值不同，则$d$不同$(每个数的因式分解是唯一的)$

• 故$N$的约数个数$=$$d$的个数$=$$b_j$的选法总数

$$\{\begin{array}{l}{p}_1共有0\sim a_1种选法\\ p_2共有0\sim a_2种选法\\ p_3共有0\sim a_3种选法\\ p_i共有0\sim a_k种选法\end{array}$$

• 根据乘法原理可知：$N$的约数个数为$(a_1+1)\times (a_2+1)\times (a_3+1)\times \cdots \times (a_k+1)$

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模板例题 870. 约数个数

原题链接

描述

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 109+7 取模。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 109+7 取模。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2×109
输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod=1e9+7;

LL cnt=1;

map<int,int> primes;  //存储质因子底数和其指数的映射

void get_div(int n){
    
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
      //从2开始枚举质因子
        
        if(n%i==0){
      //当其为质因子时
            while(n%i==0){
    
                primes[i]++;  //指数增加
                n/=i;
            }
        }
        
    }
    
    if(n>1) primes[n]++;  //剩余的数大于1则为最后的质因子
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    while(n--){
    
        
        int x;
        
        cin>>x;
        
        get_div(x);
        
    }
    
    for(auto &p : primes) cnt=cnt*(p.second+1)%mod;  //核心：N的约数个数为(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)*…*(ai+1)
    
    cout<<cnt<<endl;
    
    return 0;
    
}

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4.2.3 约数之和

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思想

• 算术基本定理：任何一个大于$1$的自然数$N$,如果$N$不为质数

• 那么$N$可以唯一分解成有限个质数的乘积$N=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\cdots \times p_i^{a_k}$,且最多只有一个大于$\sqrt{n}$的质因子

• 这里$p_1<p_2<p_3\dots p_i$均为质数，其中指数$a_k$是正整数

  $$\{\begin{array}{l}{p}_1的约数之和=p_1^0+p_1^1+\cdots +p_1^{a_1}\\ p_2的约数之和=p_2^0+p_2^1+\cdots +p_2^{a_2}\\ p_3的约数之和=p_3^0+p_3^1+\cdots +p_3^{a_3}\\ \dots \\ p_i的约数之和=p_i^0+p_i^1+\cdots +p_i^{a_k}\end{array}$$

• 根据乘法原理可知：$N$的约数之和$=(p_1^0+p_1^1+\cdots +p_1^{a_1})\times (p_2^0+p_2^1+\cdots +p_2^{a_2})\times \cdots \times (p_i^0+p_i^1+\cdots +p_i^{a_k})$

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模板例题 871. 约数之和

原题链接

描述

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 109+7 取模。

输入格式
第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式
输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案需对 109+7 取模。

数据范围
1≤n≤100,
1≤ai≤2×109
输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

252

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const LL mod=1e9+7;

LL res=1;

map<int,int> primes;  //存储质因子底数和其指数的映射

void get_div(int n){
    
    
    for(int i=2;i<=n/i;i++){
      //从2开始枚举质因子
        
        if(n%i==0){
      //当其为质因子时
            while(n%i==0){
    
                primes[i]++;  //指数增加
                n/=i;
            }
        }
        
    }
    
    if(n>1) primes[n]++;  //剩余的数大于1则为最后的质因子
    
}

int main(){
    
    
    int n;
    
    cin>>n;
    
    while(n--){
    
        
        int x;
        
        cin>>x;
        
        get_div(x);
        
    }
    
    for(auto &p : primes){
    
        
        LL t=1;
        
        int a=p.first,b=p.second;
        
        while(b--){
    
            t=(t*a+1)%mod;  //核心：求出 p0一直加到p的k的次方的和
        }
        
        res=res*t%mod;
        
    }
    
    cout<<res<<endl;
    
    return 0;
    
}

---

4.2.4 最大公约数和最小公倍数

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概念

• 最大公约数指两个或多个整数共有约（因）数中最大的数
• 最小公倍数指两个或多个整数的公倍数里最小的数

思想

• 辗转相除法求最大公约数

  **例如：**假如需要求 100 和18 两个正整数的最大公约数,用欧几里得算法，是这样进行的：
  100 / 18 = 5 (余 10)
  18 / 10= 1(余8)
  10 / 8 = 1(余2)
  8 / 2 = 4 (余0)
  至此，最大公约数为2
  以除数和余数反复做除法运算，当余数为 0 时，取当前算式除数为最大公约数，所以就得出了 100 和 18 的最大公约数2。

• 求$N$和$M$的最小公倍数$lcm(N,M)$，则先求$N$和$M$的最大公约数$gcd(N,M)$，然后$\frac{N\times M}{gcd(N,M)}$则为最小公倍数。

模板

//最大公约数
int gcd(int a, int b){
    
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

//最小公倍数
int lcm(int a,int b){
    
    return a/gcd(a,b)*b;
}

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