1.4 机器学习方法之回归问题

回归分析用于预测输入变量和输出变量之间的关系，特别是当输入变量的值发生变化时，输出变量值也随之发生变化。

1. 线性回归

线性回归算法假设特征和结果满足线性关系。这就意味着可以将输入项分别乘以一些常量，再将结果加起来得到输出。

• 模型
  选择拟合函数形式$h_{\theta }(x)={\sum }_{i=0}^n{\theta }_i{X}_i={\theta }^{\top }X$
  用去描述特征里面的分量，比如$x_1$房间的面积，$x_2$房间的朝向，等等，做出一个估计函数：
  $$h(x)=h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2$$

• 策略
  确定损失函数形式：
  $$J(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$$
  $$\underset{\theta }{\min }J(\theta )$$

• 算法
  梯度下降法。首先对$\theta$赋值，这个值可以是随机的，也可以让$\theta$是一个全零的向量。
  改变$\theta$ 的值，使得$J(\theta )$ 按梯度下降的方向进行减少，算法的结束将是在$\theta$ 下降到无法继续下降为止。
  

1.1 最小二乘法

参见《机器学习之线性回归最小二乘法》

1.2 岭回归

岭回归(英文名：ridge regression, Tikhonov regularization)是一种专用于共线性数据分析的有偏估计回归方法，实质上是一种改良的最小二乘估计法，通过放弃最小二乘法的无偏性，以损失部分信息、降低精度为代价获得回归系数更为符合实际、更可靠的回归方法，对病态数据的拟合要强于最小二乘法。

1.3 Lasso回归

Lasso回归是一种压缩估计。它通过构造一个惩罚函数得到一个较为精炼的模型，使得它压缩一些系数，同时设定一些系数为零。因此保留了子集收缩的优点，是一种处理具有复共线性数据的有偏估计。
适用场景：样本量比较小，但是指标非常多。适用于高维统计，传统的方法无法应对这样的数据。并且Lasso可以进行特征选择。
基本定理。Lasso参数估计被定义如下

1.3.1 回归案例：某市财政收入预测

在已有研究的基础上运用Lasso特征选择的方法研究影响地方财政收入的因素，在Lasso特征选择的基础上，使用支持向量回归SVR模型，对选择的特征进行回归分析，得到财政收入的预测模型。案例代码是基于python+pandas+numpy+scikit-learn实现的。

财政收入数据的基础情况。各项特征名称：社会从业人数x1、在岗职工工资总额x2、社会消费品零售总额x3、城镇居民人均可支配收入x4、城镇居民人均消费性支出x5、年末总人口x6、全社会固定资产投资额x7、地区生产总值x8、第一产业产值x9、税收x10、居民消费价格指数x11、第三产业与第二产业产值比x12、居民消费水平x13。