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MOOSE平台官方第二个例子分析——关于创建Kernel，求解对流扩散方程

2022-08-04 05:30:00 【nuomi666】

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一、例子介绍

本文使用的是官网上提供的第二例子（ MOOSE|EX02），这个例子的求解的方程是在扩散方程（泊松方程）之上添加平流项，平流速度 v ⃗ \vec{v} v在 z z z方向上为 1 1 1，否则为零。其边界条件采用Dirichlet边界。在求解域底部上 u = 1 u=1 u=1 ，在顶部 u = 0 u=0 u=0 ，在剩余的其他边界上 ∇ u ⋅ n ^ = 0 \nabla u \cdot \hat{n} = 0 ∇u⋅n^=0，其中 n ^ \hat{n} n^是边界法向向量。

− ∇ ⋅ ∇ u + v ⃗ ⋅ ∇ u = 0 ∈ Ω u = 1 ∈ ∂ Ω b o t t o m u = 0 ∈ ∂ Ω t o p ∇ u ⋅ n ^ = 0 ∈ ∂ Ω o t h e r (1.1) \begin{aligned} -\nabla \cdot \nabla u + \vec{v} \cdot \nabla u&=0 && \quad \in \Omega \\ u &= 1 && \quad \in \partial \Omega_{bottom} \\ u &= 0 && \quad \in \partial \Omega_{top}\\ \nabla u \cdot \hat{n}& = 0 && \quad \in \partial \Omega_{other} \end{aligned} \tag{1.1} −∇⋅∇u+v⋅∇uuu∇u⋅n^​=0=1=0=0​​∈Ω∈∂Ωbottom​∈∂Ωtop​∈∂Ωother​​(1.1)

二、FEM

1、生成弱形式

a.等式两侧同时乘测试函数 ψ \psi ψ

ψ ( − ∇ ⋅ ∇ u ) + ψ ( v ⃗ ⋅ ∇ u ) = 0 ψ , u ∈ V (2.1) \psi(-\nabla \cdot \nabla u) + \psi (\vec{v} \cdot \nabla u )=0 \quad \quad \psi,u \in V \tag{2.1} ψ(−∇⋅∇u)+ψ(v⋅∇u)=0ψ,u∈V(2.1)
这里 V = H 1 ( Ω ) V =H^{1}{(\Omega)} V=H1(Ω)

b.对整个求解域 Ω \Omega Ω积分

− ∫ Ω ψ ( ∇ ⋅ ∇ u ) + ∫ Ω ψ ( v ⃗ ⋅ ∇ u ) = 0 (2.2) -\int_{\Omega} \psi ( \nabla \cdot \nabla u)+\int_{\Omega}\psi(\vec{v} \cdot \nabla u ) =0 \tag{2.2} −∫Ω​ψ(∇⋅∇u)+∫Ω​ψ(v⋅∇u)=0(2.2)

c.分部积分

由于求导的性质有 ∇ ⋅ ( ψ ∇ u ) = ψ ∇ ⋅ ∇ u + ∇ ψ ⋅ ∇ u \nabla \cdot (\psi \nabla u)=\psi\nabla \cdot \nabla u+\nabla \psi \cdot \nabla u ∇⋅(ψ∇u)=ψ∇⋅∇u+∇ψ⋅∇u，带入（2.2）式左侧第一项得:
∫ Ω ∇ ψ ⋅ ∇ u − ∫ Ω ∇ ⋅ ( ψ ∇ u ) + ∫ Ω ψ ( v ⃗ ⋅ ∇ u ) = 0 (2.3) \int_{\Omega} \nabla \psi \cdot \nabla u-\int_{ \Omega}\nabla \cdot (\psi \nabla u)+\int_{\Omega} \psi(\vec{v} \cdot \nabla u )=0 \tag{2.3} ∫Ω​∇ψ⋅∇u−∫Ω​∇⋅(ψ∇u)+∫Ω​ψ(v⋅∇u)=0(2.3)

d.应用散度定理

散度定理可以理解成：考虑在流动得液体中取出体积为 V V V的部分，则流过该部分表面 S S S的液体通量等于散度在整个体积上的积分。
∭ V ( ∇ ⋅ F )   d V = ∯ s ( F ⋅ n ^ )   d S {\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,\mathrm {d} V=} \oiint{\displaystyle \scriptstyle s}{\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,\mathrm {d} S} ∭V​(∇⋅F)dV=∬​s(F⋅n^)dS
左侧是在整个体积 V V V上的积分，右侧是在 V V V的表面边界 S S S上的积分, n ^ {\mathbf {\hat {n}} } n^是边界上外法线方向。
对（2.3）式的左侧第二项应用散度定理，（2.3）式可以写成
∫ Ω ∇ ψ ⋅ ∇ u − ∫ ∂ Ω ψ ( ∇ u ⋅ n ^ ) + ∫ Ω ψ ( v ⃗ ⋅ ∇ u ) = 0 ψ , u ∈ V (2.4) \int_{\Omega} \nabla \psi \cdot \nabla u-\int_{ \partial \Omega} \psi (\nabla u\cdot \mathbf {\hat {n}})+\int_{\Omega} \psi(\vec{v} \cdot \nabla u )=0 \quad \quad \psi,u \in V \tag{2.4} ∫Ω​∇ψ⋅∇u−∫∂Ω​ψ(∇u⋅n^)+∫Ω​ψ(v⋅∇u)=0ψ,u∈V(2.4)

e.写成内积的形式

可以把（2.4）式用内积形式表示，其中每项都能在MOOSE中找到现有类进行继承
( ∇ ψ , ∇ u ) ⏟ K e r n e l − * ψ , ∇ u ⋅ n ^ * ⏟ B o u n d a r y C o n d i t i o n + ( ψ , v ⃗ ⋅ ∇ u ) ⏟ K e r n e l = 0 ψ , u ∈ V (2.5) \underbrace{\left(\nabla\psi, \nabla u \right)}_{Kernel} - \underbrace{\langle\psi, \nabla u\cdot \hat{n} \rangle}_{BoundaryCondition} + \underbrace{\left(\psi,\vec{v} \cdot \nabla u\right)}_{Kernel} = 0 \quad \quad \psi,u \in V \tag{2.5} Kernel(∇ψ,∇u)​​−BoundaryCondition*ψ,∇u⋅n^*​​+Kernel(ψ,v⋅∇u)​​=0ψ,u∈V(2.5)

2、等参单元

a ( ψ , u ) = ( ∇ ψ , ∇ u ) − * ψ , ∇ u ⋅ n ^ * + ( ψ , v ⃗ ⋅ ∇ u ) = ∫ Ω ∇ ψ ⋅ ∇ u − ∫ ∂ Ω ψ ( ∇ u ⋅ n ^ ) + ∫ Ω ψ ( v ⃗ ⋅ ∇ u ) = ∑ e ∣ J e ∣ [ ∫ Ω ^ e ∇ ψ i ⋅ ∇ u h − ∫ ∂ Ω ^ ψ i ( ∇ u h ⋅ n ^ ) + ∫ Ω ^ e ψ i ( v ⃗ ⋅ ∇ u h ) ] = 0 \begin{aligned} a(\psi,u)=&\left(\nabla\psi, \nabla u \right) - {\langle\psi, \nabla u\cdot \hat{n} \rangle} + \left(\psi,\vec{v} \cdot \nabla u\right)\\ =&\int_{\Omega} \nabla \psi \cdot \nabla u-\int_{ \partial \Omega} \psi (\nabla u\cdot \mathbf {\hat {n}})+\int_{\Omega} \psi(\vec{v} \cdot \nabla u )\\ =&\sum_e \left|\mathcal{J}_{e}\right| \left[\int_{\hat{\Omega}_e} \nabla \psi_i \cdot \nabla u_h-\int_{ \partial \hat{\Omega}} \psi_i (\nabla u_h\cdot \mathbf {\hat {n}})+\int_{\hat{\Omega}_e} \psi_i(\vec{v} \cdot \nabla u_h )\right]\\ =&0 \end{aligned} a(ψ,u)====​(∇ψ,∇u)−*ψ,∇u⋅n^*+(ψ,v⋅∇u)∫Ω​∇ψ⋅∇u−∫∂Ω​ψ(∇u⋅n^)+∫Ω​ψ(v⋅∇u)e∑​∣Je​∣[∫Ω^e​​∇ψi​⋅∇uh​−∫∂Ω^​ψi​(∇uh​⋅n^)+∫Ω^e​​ψi​(v⋅∇uh​)]0​
其中
u ≈ u h = ∑ i n U i ψ i i = 1 , 2 , ⋯ n u \approx u_h=\sum_{i}^nU_{i}\psi_i \quad \quad i = 1,2,\cdots n u≈uh​=i∑n​Ui​ψi​i=1,2,⋯n
这样刚度矩阵的

3、高斯积分

进行离散后的积分求解起来很麻烦，为了方便就采用了高斯积分的形式
∑ e ∫ Ω ^ e f ( ξ ˉ ) ∣ J e ∣ d ξ ˉ ≈ ∑ e ∑ q w q f ( x ˉ q ) ∣ J e ( x ˉ q ) ∣ \sum_{e} \int_{\hat{\Omega}_{e}} f(\bar{\xi})\left|\mathcal{J}_{e}\right| \mathrm{d} \bar{\xi} \approx \sum_{e} \sum_{q} w_{q} f\left(\bar{x}_{q}\right)\left|\mathcal{J}_{e}\left(\bar{x}_{q}\right)\right| e∑​∫Ω^e​​f(ξˉ​)∣Je​∣dξˉ​≈e∑​q∑​wq​f(xˉq​)∣Je​(xˉq​)∣
x ˉ q \bar{x}_{q} xˉq​是正交点的位置， w q w_{q} wq​是它的相关权重。

最终我们只需求解:
R ⃗ i ( u h ) = ∑ e ∑ q w q ∣ J e ∣ [ ∇ ψ i ⋅ ∇ u h + ψ i ( v ⃗ ⋅ ∇ u h ) ] ( x ⃗ q ) ⏟ Kernel Object(s) − ∑ f ∑ q f a c e w q f a c e ∣ J f ∣ [ ψ i ∇ u h ⋅ n ⃗ ] ( x ⃗ q f a c e ) ⏟ BoundaryCondition Object \begin{aligned} \vec{R}_i(u_h) &= \sum_e \sum_{q} w_{q} \left|\mathcal{J}_e\right|\underbrace{\left[ \nabla\psi_i\cdot \nabla u_h + \psi_i \left(\vec v \cdot \nabla u_h \right) \right](\vec{x}_{q})}_{\textrm{Kernel Object(s)}} \\ &- \sum_f \sum_{q_{face}} w_{q_{face}} \left|\mathcal{J}_f\right|\underbrace{\left[\psi_i \nabla u_h \cdot \vec{n} \right](\vec x_{q_{face}})}_{\textrm{BoundaryCondition Object}} \end{aligned} Ri​(uh​)​=e∑​q∑​wq​∣Je​∣Kernel Object(s)[∇ψi​⋅∇uh​+ψi​(v⋅∇uh​)](xq​)​​−f∑​qface​∑​wqface​​∣Jf​∣BoundaryCondition Object[ψi​∇uh​⋅n](xqface​​)​​​
MOOSE平台关于高斯积分的介绍Quadrature,目前还没有太多说明。

三、输入文件

MOOSE会把输入文件和编译的app一块编译成而执行文件，然后运行输出，MOOSE的输入文件采用的是“分层输入文本”（hit）格式，基本的MOOSE输入文件包含六个部分

	[Mesh]:定义求解的区域及剖分
	[Variables]:定义需要求解的变量
	[Kernels]:定义要解决的方程
	[BCs]:定义边界条件
	[Executioner]:定义解决问题的类型和方式
	[Outputs]:定义结果如何输出

当然根据求解问题的需要也可以添加AuxVariables、AuxKernels、preconditioners、Postprocessors、Functions等更多的层。

[Kernels]                  	 #最外层名称不能随意更改，要使用MOOSE支持的层名
  [Kernel_1]		    	 #内存名称可以用户自定义，方便阅读
    type = Kernel_name  	 #要用的物理模块，必须是编译的app包含在内的
    variable = variable1 	 #该物理模块需要求解的变量名称
    						 #根据Kernel的类型设置其他参数
  []					 
  [Kernel_2]		    	 #需要多个物理模块，可以并列添加内部层
  	type = Kernel_name   	 #同一个物理模块可以多次调用求解不同的变量
    variable = variable2	 # 
  []
[]							 #内外层的开始和结尾都需要中括号

1、网格[mesh]

本例使用的网格是已经生成的ExodusII格式的网格文件，所以直接导入就行。共有3774个节点，2476个四边形剖分。

[Mesh]
  file = mug.e  
[]

MOOSE支持很多类型的网格文件导入，具体可以查看官网介绍（FileMesh）。

2、变量[Variables]

对于改问题要求解的方程
− ∇ ⋅ ∇ u + v ⃗ ⋅ ∇ = 0 -\nabla \cdot \nabla u + \vec{v} \cdot \nabla=0 −∇⋅∇u+v⋅∇=0
其中只包含一个变量 u u u。

[Variables]
  [convected]     		 #变量的名称
    order = FIRST		 #基函数插值类型	
    family = LAGRANGE	 #阶数 
  []					 #网格是QUAD4剖分，所以该变量采用拉格朗日一次插值
[]

3、物理模块[Kernels]

控制方程的弱形式除去边界边界项外还有两项：扩散项和对流项，所以物理模块应该选用两个。

[Kernels]
  [diff]
    type = Diffusion
    variable = convected
  []

  [conv]
    type = ExampleConvection
    variable = convected
    velocity = '0.0 0.0 1.0'
  []
[]

物理模块由两个文件构成，存放在./include中的.h类型的头文件和存放在./src中.C类型的源文件
对于Diffusion模块，其头文件Diffusion.h

#pragma once //避免多次编译

#include "Kernel.h" //调用

class Diffusion : public Kernel //继承Kernel类
{
    
public:
//InputParameters：主要的MOOSE类负责处理几乎每个MOOSE系统中的用户定义参数。
  static InputParameters validParams();  

  Diffusion(const InputParameters & parameters);//构造函数

protected:
  virtual Real computeQpResidual() override;//残差求解函数，必须重载

  virtual Real computeQpJacobian() override;//雅可比矩阵求解函数，必须重载
};

源文件Diffusion.C

#include "Diffusion.h"
//注册类名，通过这个将类编译进程序使用
registerMooseObject("MooseApp", Diffusion);

InputParameters
Diffusion::validParams() //构造Diffusion模块获取物理变量的函数
{
    
  InputParameters params = Kernel::validParams();
  //addClassDescription添加类描述
  params.addClassDescription("The Laplacian operator ($-\\nabla \\cdot \\nabla u$), with the weak "
                             "form of $(\\nabla \\phi_i, \\nabla u_h)$.");
  return params;
}

Diffusion::Diffusion(const InputParameters & parameters) : Kernel(parameters) {
    }

Real
Diffusion::computeQpResidual()
{
    
  return _grad_u[_qp] * _grad_test[_i][_qp];//继承的是Kernel，所以要使用_grad_test或_test
}

Real
Diffusion::computeQpJacobian()
{
    
  return _grad_phi[_j][_qp] * _grad_test[_i][_qp];
}

平流项模块的头文件ExampleConvection.h

#pragma once

#include "Kernel.h"
class ExampleConvection : public Kernel
{
    
public:
  /**这是构造函数的声明。 这个函数接受一个字符串和一个InputParameters对象， 就像其他Kernel-derived类。 */
  ExampleConvection(const InputParameters & parameters);

  /** validParams返回这个内核接受/需要的参数 */
  static InputParameters validParams();

protected:
  /** 计算一个积分点（节点）上的残差 */
  virtual Real computeQpResidual() override;

  /** * Responsible for computing the diagonal block of the preconditioning matrix. * This is essentially the partial derivative of the residual with respect to * the variable this kernel operates on ("u"). * * Note that this can be an approximation or linearization. In this case it's * not because the Jacobian of this operator is easy to calculate. * * This function should always be defined in the .C file. */
  virtual Real computeQpJacobian() override;

private:
  /** 用来储存向量，便于计算内积 */
  RealVectorValue _velocity;
};

源文件ExampleConvection.C

#include "ExampleConvection.h"
//注册
registerMooseObject("ExampleApp", ExampleConvection);

//这个函数定义了这个内核的有效参数和它们的默认值
InputParameters
ExampleConvection::validParams()
{
    
  InputParameters params = Kernel::validParams();
  //这里使用了RealVectorValue所以velocity的传入值是向量
  params.addRequiredParam<RealVectorValue>("velocity", "Velocity Vector");
  return params;
}

ExampleConvection::ExampleConvection(const InputParameters & parameters)
  : // 必须先调用基类的构造函数
    Kernel(parameters),
    _velocity(getParam<RealVectorValue>("velocity"))
{
    
}

Real
ExampleConvection::computeQpResidual()
{
    
  // velocity * _grad_u[_qp] is actually doing a dot product
  return _test[_i][_qp] * (_velocity * _grad_u[_qp]);
}

Real
ExampleConvection::computeQpJacobian()
{
    
  // the partial derivative of _grad_u is just _grad_phi[_j]
  return _test[_i][_qp] * (_velocity * _grad_phi[_j][_qp]);
}

4、边界条件[BCs]

[BCs]
  [bottom]
    type = DirichletBC
    variable = convected
    boundary = 'bottom'
    value = 1
  []

  [top]
    type = DirichletBC
    variable = convected
    boundary = 'top'
    value = 0
  []
[]

5、求解方式[Executioner]

[Executioner]
  type = Steady			#稳态，不含时间
  solve_type = 'PJFNK'	#带有预处理的JFNK
[]

6、输出[Outputs]

[Outputs]
  execute_on = 'timestep_end' 	#时间结束执行该对象
  exodus = true					
[]

7、ex02_oversample.i

[Mesh]
  type = GeneratedMesh    #常用网格生成类
  dim = 2				  #网格维度是2
  # x的最大坐标xmax为可选参数默认为1
  # x的最小坐标xmin为可选参数默认为0
  nx = 2				  # x方向剖分的数目，默认为1
  ny = 2				  # y方向剖分的数目，默认为1
  #这里选择的维度是2，所以不写nz,zmax应该也行，但是官网写了
  nz = 0				  
  zmax = 0				  # z方向的最大坐标		
  elem_type = QUAD9 #网格剖分类型，默认是QUAD4，四个自由度的四边形网格
[]

[Variables]
  [./diffused]
    order = SECOND	#网格9有个自由度，所以要采用二阶插值，默认是拉格朗日类型
  [../]
[]

[Kernels]
  [./diff]
    type = Diffusion
    variable = diffused
  [../]
[]

[DiracKernels]
  [./foo]
    variable = diffused        #被施加负载的变量
    type = ConstantPointSource #在网格中的单个位置施加负载
    value = 1				   # 负载
    point = '0.3 0.3 0.0'	   #施加负载的位置
  [../]
[]

[BCs]
  [./all]
    type = DirichletBC
    variable = diffused
    boundary = 'bottom left right top'
    value = 0.0
  [../]
[]

[Executioner]
  type = Steady
  solve_type = 'PJFNK'
[]

[Outputs]
  execute_on = 'timestep_end'
  exodus = true
  [./refine_2]
    type = Exodus			#输出文件类型
    file_base = oversample_2 #输出文件名
    refinements = 2			
  [../]
  [./refine_4]
    type = Exodus
    file_base = oversample_4
    #Number of uniform refinements for oversampling 
    #(refinement levels beyond any uniform refinements)
    refinements = 4
  [../]
[]

四、MOOSE常见代码

MOOSE的内核AD开头的是自动计算微分，如果选用AD类型，那么模型所用的所有模块都要调用AD开头的。

1、常见内置变量

  • _u,_grad_u 被操作变量的值和梯度。

  • _test,_grad_test 值( u u u)的测试函数 ψ \psi ψ 和梯度 ∇ ψ \nabla \psi ∇ψ

  • _i 测试功能组件的当前索引。

  • _q_point 当前节点的坐标。

  • _qp 当前节点索引。

2、InputParameters

“InputParameters”是一个C++类模板，声明和填充所有的参数，InputParameters 对象是一组参数，每个参数都有单独的属性，可用于精细控制底层对象的行为。例如，参数可以标记为必需或可选，提供或不提供默认值。输入参数的完整属性列表（InputParameters）。
每个类里包含的InputParameters都是使用静态方法validParams创建的,使用InputParameters方法创建一个名为Object的Kernel，其定义了两个参数，一个带有默认值1980的int类型的可选参数year和类型为int的必选参数month，以及相应的参数描述。

#include "Object.h"
//创建的所有基于MOOSE的对象类都必须使用这个宏把要创建的类在app内注册
//第一个参数是带有"App"后缀应用程序名称。 
//第二个参数是创建的c++类的名称。 
registerMooseObject("MOOSEApp", Object);
InputParameters
Object::validParams()
{
    
  InputParameters params = Kernel::validParams();  //从父类开始
  params.addParam<int>("year", 1980, "Provide the year you were born.")
  params.addRequiredParam<int>("month", "Provide the month you were born.")
  return params;
}

输入文件的Kernel层

[Kernel]
  [date_object]
    type  =  Object	#使用已经在app内注册的Kernel
    year  =  2000	#此为选填参数，不填就用默认值1980
    month =  6		#此为必选参数，不填程序报错
  []
[]

3、computeQpResidual

这个函数会出现在每个Kernel的末尾，用来计算残差。最好去看官网说明，说的比较清楚。

父类覆盖用法
K e r n e l A D K e r n e l {\rm Kernel} \\ {\rm ADKernel} KernelADKernelcomputeQpResidual当PDE中的项同时乘以测试函数和测试函数的梯度时使用（_test和_grad_test必须使用）
K e r n e l V a l u e A D K e r n e l V a l u e {\rm KernelValue} \\ {\rm ADKernelValue} KernelValueADKernelValueprecomputeQpResidual当PDE中计算的项仅乘以测试函数时使用（不用写_test参数，会自动应用）
K e r n e l G r a d A D K e r n e l G r a d {\rm KernelGrad} \\ {\rm ADKernelGrad} KernelGradADKernelGradprecomputeQpResidual当PDE中计算的项仅乘以测试函数的梯度时使用（不用写_grad_test参数，会自动应用）

使用实例对于弱形式:
( ∇ ψ , K μ ∇ p ) = 0 (\nabla \psi, \dfrac{K}{\mu} \nabla p) = 0 (∇ψ,μK​∇p)=0
仅用到了测试函数的梯度，所以计算残差要继承KernelGrad或ADKernelGrad的precomputeQpResidual ，代码形式：

#pragma once
//调用ADKernelGrad基类
#include "ADKernelGrad.h"
//继承
class DarcyPressure : public ADKernelGrad
{
    
public:
  static InputParameters validParams();

  DarcyPressure(const InputParameters & parameters);

protected:
  /// 静态函数，必须重载
  virtual ADRealVectorValue precomputeQpResidual() override;

  ///变量的值
  const Real _permeability;
  const Real _viscosity;
};



//源文件计算残差，不用写_grad_test参数，会自动应用
ADRealVectorValue
DarcyPressure::precomputeQpResidual()
{
    
  return (_permeability / _viscosity) * _grad_u[_qp];//这里的u就是求解变量p
}

4、

参考资料

[ 1 ] [1] [1]、Gockenbach M S . Understanding and Implementing the Finite Element Method[M]. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006.
[ 2 ] [2] [2]、https://mooseframework.inl.gov/

原网站

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