头脑风暴：完全背包

题目

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

解题思路

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件, 问背包能背的物品最大价值是多少？ 求解该题与 01 背包问题的区别就在于遍历顺序上。

所以第一步确定 dp 数组的定义，在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

第二步确定递推公式，dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。dp[j - weight[i]] + value[i] 表示 容量为 j - 物品i重量 的背包 加上 物品i的价值。此时dp[j]有两个选择，一个是取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j]，即不放物品i，一个是取dp[j - weight[i]] + value[i]，即放物品i，指定是取最大的，毕竟是求最大价值，

所以递归公式为：dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

第三步 dp 数组初始化，由于物品价值都是大于0的，所以dp数组初始化的时候，都初始为0就可以了。

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。

而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，代码如下：

// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
 for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
 dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

 }
}


代码实现

private static void testCompletePack(){
 int[] weight = {1, 3, 4};
 int[] value = {15, 20, 30};
 int bagWeight = 4;
 int[] dp = new int[bagWeight + 1];
 for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
 for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
 dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
 }
 }
 for (int maxValue : dp){
 System.out.println(maxValue + &quot; &quot;);
 }
}