Luogu P1908: 逆序对 [树状数组]

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 $a_i>a_j$ 且 $i<j$ 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

输入格式

第一行，一个数 $n$，表示序列中有 $n$个数。

第二行 $n$ 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 $10^9$。

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

样例 #1

样例输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

样例输出 #1

11

思路

这里用到了一个离散化的思想：假设原本的数组是这个样子的{1, 2, 5, 900}，我们要对每个元素出现的次数进行计数，那我们就需要开长度为900的数组，但是我们求解逆序对的时候并不需要知道每个数字的具体大小，只要知道他们之间的相对大小关系即可。

所以我们用一个数组d来存放这种相对关系：d[i]代表原数组中第i小的元素的下标。这样就把元素的相对大小的信息存储下来了。

接下来我们就要利用这个d数组来求解原数组中的逆序对的个数了，仔细思考一下，发现原数组中逆序对的个数就是d数组中正序对的个数。

如何利用树状数组来求解答案呢？此时树状数组维护的信息是第[1, x]小的数字的个数。那么我们把d数组中的元素依次加入树状数组中，每次插入时记录下来getsum(d[i]-1)的值，这些值的累加就是答案。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 5e5+5;
int a[maxn], d[maxn], c[maxn];
int n;

int lowbit(int x) {
    
    return x&(-x);
}
void add(int i) {
    
    while(i <= n) {
    
        ++c[i];
        i += lowbit(i);
    }
}
ll getsum(int i) {
    
    ll res = 0;
    while(i > 0) {
    
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

bool cmp(int i, int j) {
    
    if(a[i] == a[j]) return i > j; // 当原数组中出现相同的元素时，我们把d数组中较大的下标排在前面，防止相同的元素也被记到逆序对中
    return a[i]>a[j];
}

int main(void)
{
    
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    
        scanf("%d", &a[i]);
        d[i] = i;
    }
    stable_sort(d+1, d+n+1, cmp);
    ll ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) {
    
        add(d[i]);
        ans += getsum(d[i]-1);
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}