倍增和稀疏表

倍增、ST、RMQ

1、倍增

任意整数均可被表示成若干个2的次幂项之和。例如：

• 整数5，其二进制表示为101，该二进制数从右向左第0、2位均为1，则5=2+20

• 整数26，其二进制表示为11010，该二进制数从右向左第1、3、4位均为1，则 $26=2^4+2^3+2^1$ 。也就是说，2的次幂项可被拼成任一需要的值。

倍增，顾名思义就是成倍增加。若问题的状态空间特别大，则一步步递推的算法复杂度太高，可以通过倍增思想，只考察2的整数次幂位置，快速缩小求解范围，直到找到解。

2、ST

ST（Sparse Table，稀疏表）算法采用了倍增思想，在 $O(nlogn)$ 时间构造一个二维表之后，可以在 $O(1)$ 时间在线查询 $[l,r]$ 区间的最值，有效解决 在线RMQ（Range Minimum/Maximum Query，区间最值查询）问题。如何实现呢？

设 $F[i,j]$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 区间的最值，区间长度为 $2^j$。

根据倍增思想，长度为 $2^j$ 的区间可被分成两个长度为 $2^{j-1}$ 的子区间，然后求两个子区间的最值即可。

递推公式：$F[i,j]=max(F[i,j-1],F[i+2^{j-1},j-1])$

2.1 ST表的创建

若 $F[i,j]$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 区间的最值，区间长度为$2^j$，则和 $j$ 的取值范围是多少呢?

若数组的长度为 $n$ ，最大区间长度 $2^k\le n<2^{k+1}$，则 $k=\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor$， 比如：

• n=8时k=3，
• n=10时k=3。

在程序中，k=log2(n)， 也可用通用表达方式 k=log(n)/log(2)，log()表 示以 e为底的自然对数。

void ST_create() {
    
	for(int i=1; i<=n; i++) {
    
		F[i][0]=a[i];// 区间[i,i]的最值，区间长度位2^0
	}
	int k=log(n)/log(2.0);
	for(int j=1; j<=k; j++) {
    
		for(int i=1; i<=n-(1<<y)+1; i++) {
    
			F[i][j]=max(F[i][j-1],F[i+(1<<j-1)][j-1])
		}
	}
}

例如，有10个元素 $a[\mathrm{1..10}]=5,3,7,2,12,1,6,4,8,15$，创建查询最大值的ST表。$F[i,j]$ 表示 $[i,i+2^j-1]$ 区间的最值，区间长度为2。

2.2 ST表查询

若查询 $[l,r]$ 区间的最值，则首先计算 $k$ 值，和前面的计算方法相同，区间长度为 $r-l+1$，$2^k\le r-l+1<2^{k+1}$， 因此 $k=log2(r-l+1) $。

若查询区间的长度大于或等于 $2$ 且小于 $2^{k+1}$ ，则根据倍增思想，可以将查询区间分为两个查询区间，取两个区间的最值即可。两个区间分别为从向后的 $2^k$ 个数及从 $r$ 向前的 $2^k$ 个数，这两个区间可能有重叠，但对求最值没有影响。

int ST_query(int l, int r){
    
	int k=log2(r-l+1);
	return max(F[l][k], F[r-(1<<k)+1][k])
}

3、RMQ

RMQ(区间最值查询)问题有多种解决方法，用线段树和ST解决RMQ问题的对比如下：

• 线段树预处理的时间为$O(nlogn)$，查询的时间为 $O(logn)$ ，支持在线修改
• ST预处理的时间为 $O(nlogn)$，查询的时间为 $0(1)$ ，不支持在线修改。