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导数、偏导数、方向导数
2022-07-06 18:56:00 【Allenpandas】
1.导数与偏导数
1.1.导数
导数定义: 反应的是函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在某一点处沿着自变量 x x x 的正方向(即: x x x 轴正方向)的变化率。
导数公式:
函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在 x 0 x_0 x0 点的导数记作 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0),则 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0)为:
f ′ ( x 0 ) = lim Δ x → 0 Δ y Δ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f' (x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} f′(x0)=Δx→0limΔxΔy=Δx→0limΔxf(x0+Δx)−f(x0)
几何意义: 函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x) 在 x 0 x_0 x0 点的导数 f ′ ( x 0 ) f'(x_0) f′(x0) 表示函数曲线在点 P 0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) P_0(x_0, f(x_0)) P0(x0,f(x0)) 处的切线的斜率【导数的几何意义是该函数曲线在这一点 P 0 ( x 0 , f ( x 0 ) ) P_0(x_0, f(x_0)) P0(x0,f(x0)) 上的切线斜率】。
1.2.偏导数
偏导数定义: 以二元函数为例,反应的是函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在某一点处沿着某个坐标轴正方向(即:沿着 x x x 轴正方向或者沿着 y y y 轴正方向)的变化率。
偏导数公式:
以二元函数 z = f ( x , y ) z=f(x, y) z=f(x,y) 为例:
函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 点处对 x x x 的偏导数记作 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z(又可记作: ∂ f ∂ x \frac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f , z x z_x zx 或 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx(x,y)),则 ∂ z ∂ x \frac{\partial z}{\partial x} ∂x∂z 为:
∂ z ∂ x = lim Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x} ∂x∂z=Δx→0limΔxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)
函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) 在 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0) 点处对 y y y 的偏导数记作 ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} ∂y∂z(又可记作: ∂ f ∂ y \frac{\partial f}{\partial y} ∂y∂f , z y z_y zy 或 f y ( x , y ) f_y(x,y) fy(x,y)),则 ∂ z ∂ y \frac{\partial z}{\partial y} ∂y∂z 为:
∂ z ∂ y = lim Δ y → 0 f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ y \frac{\partial z}{\partial y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(x_0, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y} ∂y∂z=Δy→0limΔyf(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)
注:导数与偏导数本质是⼀致的,都是当⾃变量的变化趋于0时,函数值的变化与⾃变量的变化,它们两者之间⽐值的极限。
3.方向导数
在前⾯ 导数 和 偏导数 的定义中,均是沿坐标轴正⽅向讨论函数的变化率。那么当我们讨论函数沿任意⽅向的变化率时,也就引出了⽅向导数的定义。
方向导数: 反应的是函数 y y y 在某一点 x 0 x_0 x0 处沿着特定方向(不一定是 x x x 轴正方向了)的变化率。
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