＃775 Div.1 B. Integral Array 数学

B
1800

题意

给出一个含 $n$ 个数的序列 $a_1,a_2,...,a_n$，并给出 $c$ ，表示序列中所有数大小都不超过 $c$。我们称序列是整的当且仅当对于序列中任意两个（或同一个）数 $x,y(x\le y)$ , 满足 $\lfloor \frac{y}{x}\rfloor$ 也在序列中。问这个序列是否是整的。$(n\le 1e6)$

思路

这种题第一反应就是用类似素数筛的方法去优化，把对 $r=\lfloor \frac{y}{x}\rfloor$ 的判断改成对 $y$ 的判断，不能拆成 $x和r$ ”，所以可以枚举所有的 $x$，并枚举所有 $r\notin a$ , 如果在 $x\times r$ 对应的范围内存在 $y$，则 $r=\lfloor \frac{y}{x}\rfloor \notin a$ ，不是整的。对应的范围即为 $[r\times x,r\times x+x-1]$，是否存在 $y$ 只要预处理前缀和就可以了。
由调和级数，时间复杂度 $O(c\log c)$ 。

代码

int cnt[maxn], sum[maxn];
void solve() {
    
    int n, c;
    cin >> n >> c;
    for(int i = 1; i <= c; i++) cnt[i] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
    
		int x;
		cin >> x;
		cnt[x]++;
	}
	sum[0] = 0;
	for(int i = 1; i <= c; i++) {
    
		sum[i] = sum[i-1] + cnt[i];
	}
	for(int x = 1; x <= c; x++) {
    
		if(!cnt[y]) {
    
			continue;
		}
		for(int i = 1; i * x <= c; i++) {
    
			if(cnt[i]) continue;
			int l = i * x - 1;
			int r = min((i+1)*x-1, c);
			if(sum[r] - sum[l]) {
    
				cout << "No\n";
				return;
			}
		}
	}
	cout << "Yes\n";
}