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漫画：如何实现大整数相乘？（整合版）
2022-07-05 16:51:00 【小灰】
前一段时间，小灰发布了一篇有关大整数相加的漫画，没看过的小伙伴可以先看一看：
那么，大整数相乘又是如何实现的呢？
起初，小灰认为只要按照大整数相加的思路稍微做一下变形，就可以轻松实现大整数相乘。但是随着深入的学习，小灰才发现事情并没有那么简单......
————— 第二天 —————
怎样列出这个乘法竖式呢？以 93281 X 2034 为例，竖式如下：
在程序中，我们可以利用int型数组，把两个大整数按位进行存储，再把数组中的元素像小学竖式那样逐个进行计算。
这个乘法竖式的计算过程可以大体分为两步：
1.整数B的每一个数位和整数A所有数位依次相乘，得到中间结果。
2.所有中间结果相加，得到最终结果。
/**
* 大整数求乘积
* @param bigNumberA 大整数A
* @param bigNumberB 大整数B
*/
public static String multiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {
//1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于两整数长度之和
int lengthA = bigNumberA.length();
int lengthB = bigNumberB.length();
int[] arrayA = new int[lengthA];
for(int i=0; i< lengthA; i++){
arrayA[i] = bigNumberA.charAt(lengthA-1-i) - '0';
}
int[] arrayB = new int[lengthB];
for(int i=0; i< lengthB; i++){
arrayB[i] = bigNumberB.charAt(lengthB-1-i) - '0';
}
//2.构建result数组，数组长度等于两整数长度之和
int[] result = new int[lengthA+lengthB];
//3.嵌套循环，整数B的每一位依次和整数A的所有数位相乘，并把结果累加
for(int i=0;i<lengthB;i++) {
for(int j=0;j<lengthA;j++) {
//整数B的某一位和整数A的某一位相乘
result[i+j] += arrayB[i]*arrayA[j];
//如果result某一位大于10，则进位，进位数量是该位除以10的商
if(result[i+j] >= 10){
result[i+j+1] += result[i+j]/10;
result[i+j] = result[i+j]%10;
}
}
}
//4.把result数组再次逆序并转成String
StringBuilder sb = new StringBuilder();
//是否找到大整数的最高有效位
boolean findFirst = false;
for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
if(!findFirst){
if(result[i] == 0){
continue;
}
findFirst = true;
}
sb.append(result[i]);
}
return sb.toString();
}
public static void main(String[] args) {
String x = "3338429042340042304302404";
String y = "12303231";
System.out.println(multiply(x, y));
}————————————
下面，我们的推导会有一些烧脑，请大家坐稳扶好~~
大整数从高位到低位，被平分成了两部分。设整数1的高位部分是A，低位部分是B；整数2的高位部分是C，低位部分是D，那么有如下等式：
如果把大整数的长度抽象为n，那么：
因此，整数1与整数2 的乘积可以写成下面的形式：
如此一来，原本长度为n的大整数的1次乘积，被转化成了长度为n/2的大整数的4次乘积（AC，AD，BC，BD）。
什么是master定理呢？
master定理的英语名称是master theorem，它为许多由分治法得到的递推关系式提供了渐进时间复杂度分析。
设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：
假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。
根据刚才得到的结论，两个大整数相乘被拆分成四个较小的乘积：
所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：
T(n) = 4T(n/2) + f(n)
其中f(n)是4个乘积结果相加的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。
把这个关系带入到master定理的公式 T(n) = a T(n / b) + f(n) 当中，
此时 a=4， b=2。
此时，把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：
发现正好符合条件。
怎么符合呢？推导过程如下：
所以我们的平均时间复杂度是：
如何做调整呢？其实很简单，连小学生都会：
这样一来，原本的4次乘法和3次加法，转变成了3次乘法和6次加法。
这样一来，时间复杂度是多少呢？
假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。
刚才我们说过，两个大整数相乘可以被拆分成三个较小的乘积，
所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：
T(n) = 3T(n/2) + f(n)
其中f(n)是6次加法的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。
此时让我们回顾一下master定理：
设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：
对于T(n) = 3T(n/2) + f(n)这个关系式来说， a=3， b=2。
把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：
发现正好符合条件。
怎么符合条件呢？推导过程如下：
所以我们的平均时间复杂度是：
2 和 1.59 之间的差距看似不大，但是当整数长度非常大的时候，两种方法的性能将是天壤之别。
下面展示一下实现代码。我们的代码非常复杂，在这里只作为参考，最重要的还是解决问题的思路：
/**
* 大整数乘法
* @param bigNumberA 大整数A
* @param bigNumberB 大整数B
*/
public static String bigNumberMultiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {
boolean isNegative = false;
if ((bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-"))
|| (!bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-"))) {
// 两数同符号的情况
bigNumberA = bigNumberA.replaceAll("-", "");
bigNumberB = bigNumberB.replaceAll("-", "");
} else if ((bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-"))
|| (!bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-"))) {
// 两数不同符号的情况
bigNumberA = bigNumberA.replace("-", "");
bigNumberB = bigNumberB.replace("-", "");
isNegative = true;
}
// 如果两数长度之和小于10，直接相乘返回
if (bigNumberA.length() + bigNumberB.length() < 10) {
// 计算乘积
int tmp = (Integer.parseInt(bigNumberA) * Integer.parseInt(bigNumberB));
if (tmp == 0) {
return "0";
}
String value = String.valueOf(tmp);
if(isNegative){
value = "-" + value;
}
return value;
}
// 公式 AC * 10^n+((A-B)(D-C)+AC+BD) * 10^(n/2)+BD当中的a,b,c,d
String a, b, c, d;
if (bigNumberA.length() == 1) {
a = "0";
b = bigNumberA;
} else {
if (bigNumberA.length() % 2 != 0) {
bigNumberA = "0" + bigNumberA;
}
a = bigNumberA.substring(0, bigNumberA.length() / 2);
b = bigNumberA.substring(bigNumberA.length() / 2);
}
if (bigNumberB.length() == 1) {
c = "0";
d = bigNumberB;
} else {
if (bigNumberB.length() % 2 != 0) {
bigNumberB = "0" + bigNumberB;
}
c = bigNumberB.substring(0, bigNumberB.length() / 2);
d = bigNumberB.substring(bigNumberB.length() / 2);
}
// 按最大位数取值，以确定补零数目
int n = bigNumberA.length() >= bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();
//t1,t2为中间运算结果，t3为乘法运算完毕的结果
String t1, t2, t3;
String ac = bigNumberMultiply(a, c);
String bd = bigNumberMultiply(b, d);
//t1=(A-B)(D-C)
t1 = bigNumberMultiply(bigNumberSubtract(a, b), bigNumberSubtract(d, c));
//t2=(A-B)(D-C)+AC+BD
t2 = bigNumberSum(bigNumberSum(t1, ac), bd);
//t3= AC * 10^n+((A-B)(D-C)+AC+BD) * 10^(n/2)+BD
t3 = bigNumberSum(bigNumberSum(Power10(ac, n), Power10(t2, n/2)), bd).replaceAll("^0+", "");
if (t3 == "")
return "0";
if(isNegative){
return "-" + t3;
}
return t3;
}
/**
* 大整数加法
* @param bigNumberA 大整数A
* @param bigNumberB 大整数B
*/
public static String bigNumberSum(String bigNumberA, String bigNumberB) {
if (bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-")) {
return bigNumberSubtract(bigNumberB, bigNumberA.replaceAll("^-", ""));
} else if (!bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-")) {
return bigNumberSubtract(bigNumberA, bigNumberB.replaceAll("^-", ""));
} else if (bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-")) {
return "-" + bigNumberSum(bigNumberA.replaceAll("^-", ""), bigNumberB.replaceAll("^-", ""));
}
//1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();
int[] arrayA = new int[maxLength+1];
for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){
arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';
}
int[] arrayB = new int[maxLength+1];
for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){
arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';
}
//2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1
int[] result = new int[maxLength+1];
//3.遍历数组，按位相加
for(int i=0; i<result.length; i++){
int temp = result[i];
temp += arrayA[i];
temp += arrayB[i];
//判断是否进位
if(temp >= 10){
temp -= 10;
result[i+1] = 1;
}
result[i] = temp;
}
//4.把result数组再次逆序并转成String
StringBuilder sb = new StringBuilder();
//是否找到大整数的最高有效位
boolean findFirst = false;
for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
if(!findFirst){
if(result[i] == 0){
continue;
}
findFirst = true;
}
sb.append(result[i]);
}
return sb.toString();
}
/**
* 大整数减法
* @param bigNumberA 大整数A
* @param bigNumberB 大整数B
*/
public static String bigNumberSubtract(String bigNumberA, String bigNumberB) {
int compareResult = compare(bigNumberA, bigNumberB);
if (compareResult == 0) {
return "0";
}
boolean isNegative = false;
if (compareResult == -1) {
String tmp = bigNumberB;
bigNumberB = bigNumberA;
bigNumberA = tmp;
isNegative = true;
}
//1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();
int[] arrayA = new int[maxLength+1];
for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){
arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';
}
int[] arrayB = new int[maxLength+1];
for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){
arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';
}
//2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1
int[] result = new int[maxLength+1];
//3.遍历数组，按位相加
for(int i=0; i<result.length; i++){
int temp = result[i];
temp += arrayA[i];
temp -= arrayB[i];
//判断是否进位
if(temp < 0){
temp += 10;
result[i+1] = -1;
}
result[i] = temp;
}
//4.把result数组再次逆序并转成String
StringBuilder sb = new StringBuilder();
//是否找到大整数的最高有效位
boolean findFirst = false;
for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
if(!findFirst){
if(result[i] == 0){
continue;
}
findFirst = true;
}
sb.append(result[i]);
}
String value = sb.toString();
if (isNegative) {
value = "-" + value;
}
return value;
}
// 比较大小
private static int compare(String x, String y) {
if (x.length() > y.length()) {
return 1;
} else if (x.length() < y.length()) {
return -1;
} else {
for (int i = 0; i < x.length(); i++) {
if (x.charAt(i) > y.charAt(i)) {
return 1;
} else if (x.charAt(i) < y.charAt(i)) {
return -1;
}
}
return 0;
}
}
// 扩大10的n次方倍
public static String Power10(String num, int n) {
for (int i = 0; i < n; i++) {
num += "0";
}
return num;
}
public static void main(String[] args) {
String x = "1513143";
String y = "9345963";
System.out.println(bigNumberMultiply(x, y));
}需要注意的是，这段实现代码只适用于两个大整数长度相等的情况。如果想求解长度不等的整数相乘，只需要对代码做微小的改动，有兴趣的小伙伴没有试一试。
几点补充：
1. 文章最后的代码，经由网上技术博客的代码改动而来，仅做参考。
2. 关于快速傅里叶变换，有兴趣深入研究的小伙伴们可以参考《算法导论》第30章的内容。
—————END—————
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