复杂网络建模（一）

度、平均度以及度分布

节点的度就是该节点的邻边数量。平均度就是所有节点度的平均值。度分布描述了节点度的分布情况，通常用直方图来表示。

连通性

无向网络中如果任意一对节点i和节点j之间至少存在一条路径，则网络是连通的，若不存在则是不连通的。

集聚系数

集聚系数用以捕获给定节点邻居节点之间的连接程度。对于一个度为k_i的节点i，
局部聚集系数被定为

如下图所示

整个网络的集聚程度可以由平均集聚系数所表征，它代表了所有节点的局部集聚系数的平均值

全局集聚系数

度分布

大多数实际网络中的节点的度满足一定的概率分布的。定义p(k)为网络中度为k的节点在整个网络中所占的比例。
规则网络：由于每一个节点具有相同的度，所以其度分布集中在一个单一尖峰上，是一种Delta分布。
完全随机网络：度分布具有泊松分布的形式，每条边出现概率是相等的，大多数节点的度是基本相同的，并接近于网络平均度（k）,远离峰值（k），度分布则按指数形式急剧下降。把这类网络称为均匀网络。

累积度分布

可以使用累积度分布函数来描述度分布情况，它与度分布的关系为
$$P_k=\sum _{x=k}^{\infty }P(x)$$
它表示度不小于k节点的概率分布。

网络的直径和平均距离

网络中的两节点V_i和V_j之间经历边数最少的一条简单路径（经历的边各不相同），称为测地线。测地线的边数d_ij称为两节点V_i和V_j之间的距离（或者叫测地线距离）。
1/d_ij称为节点V_i和V_j之间的效率，记为ε_ij。通常用效率来度量节点之间的信息传递速度。
网络的直径D定义为所有距离d_ij中最大值

平均距离（特征路径长度）

平均距离L定义为所有节点对之间距离的平均值， 它描述了网络中节点间的平均分离程度。
很多实际网络虽然节点数巨大，但是平均距离却小的惊人，这就是所谓的小世界效应。

度—度相关性

1.基于最近邻平均度值的度-度相关性
度-度相关性描述了网络中度大的节点和度小的节点之间的关系。若度大的节点倾向于和度大的节点连接，则网络是度-度正相关，反之则是度-度负相关。
节点V_i的最近邻平均度值的定义为：

其中k_i表示节点V_i的度值，a_ij为邻接矩阵元素
所有度值为k的节点的最近邻平均度值的平均值为k_nn(k)定义为

式子中N为节点总数，P（k）为度分布函数
如果k_nn(k)随着k的上升而上升，则说明度值大的节点倾向于和度值大的节点连接，网络具有正相关特性，称之为同配网络；反之网络具有负相关特性，称之为异配网络。
2.基于Pearson相关系数的度-度相关性
Newman利用边两端节点的度的Pearson相关系数r来描述网络的度-度相关性，定义如下：