高数_第1章空间解析几何与向量代数_向量的数量积

一 数量积的定义：

  给定两个向量 α 和 β, 定义它们的数量积为 

   α·β = |α|· |β| cosφ ,   其中 φ 是 此两个向量的夹角。

两个向量的数量积是数量。

定理2  向量垂直与数量积的关系    

向量 α 与 β 相互垂直的充分必要条件是 α·β=0.     规定零向理与任何向量垂直。

二 数量积的坐标表示

因为向量i, j, k都是单位向量，且相互垂直， 容易得出 i·i = 1,  j·j = 1, k·k=1.

设向量α = {a₁ , a₂ , a₃},   β ={b₁, b₂ , b₃},

α  · β = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃ b₃.    这就是数量积的坐标表示。

由定理2可知， α 与 β相互垂直的充分必要条件是 a₁b₁ + a₂b₂ + a₃ b₃ = 0.

通过数量积的坐标表示， 可以推出两个向量夹角的余弦的坐标表示。设α 与 β之间的夹角为φ，由数量积的定义和坐标表示各得出

 

三 例题