雇佣收银员【差分约束】

题目：

一家超市要每天 $24$ 小时营业，为了满足营业需求，需要雇佣一大批收银员。

已知不同时间段需要的收银员数量不同，为了能够雇佣尽可能少的人员，从而减少成本，这家超市的经理请你来帮忙出谋划策。

经理为你提供了一个各个时间段收银员最小需求数量的清单 $R(0),R(1),R(2),\dots ,R(23)$。

$R(0)$ 表示午夜 $00:00$ 到凌晨 $01:00$ 的最小需求数量，$R(1)$ 表示凌晨 $01:00$ 到凌晨 $02:00$ 的最小需求数量，以此类推。

一共有 $N$ 个合格的申请人申请岗位，第 i 个申请人可以从 ti 时刻开始连续工作 $8$ 小时。

收银员之间不存在替换，一定会完整地工作 $8$ 小时，收银台的数量一定足够。

现在给定你收银员的需求清单，请你计算最少需要雇佣多少名收银员。

输入格式
第一行包含一个不超过 $20$ 的整数，表示测试数据的组数。

对于每组测试数据，第一行包含 $24$ 个整数，分别表示 $R(0),R(1),R(2),\dots ,R(23)$。

第二行包含整数 N。

接下来 $N$ 行，每行包含一个整数 $t_i$。

输出格式
每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

如果没有满足需求的安排，输出 No Solution。

数据范围
$0\le R(0)\le 1000,$
$0\le N\le 1000,$
$0\le t_i\le 23$
输入样例：

1
1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
5
0
23
22
1
10

输出样例：

1

题目思路：

因为求最少，所以用最长路。

---

num[i]：第i时刻申请上岗的人数
x[i]：第i时刻实际上岗的人数
r[i]：第i时刻的最小需求
s[i]:从1到i中申请上岗的人数
第i个时刻可以由哪个时刻的人上岗：$x[i-7]+x[i-6]+x[i-5]+...+x[i]$

---

每个时刻申请上岗的人数肯定大于0：$0<=x[i]<=num[i]$
第i个时刻上岗的人数必须要大于等于r[i],所以$x[i-7]+x[i-6]+x[i-5]+...+x[i]>=r[i]$;
因为求的是一段的和，所以可以用前缀和求

转化为前缀和后：$0<=x[i]<=num[i]$ -> $0<=s[i]-s[i-1]<=num[i]$ ①
$x[i-7]+x[i-6]+x[i-5]+...+x[i]>=r[i]$ -> $s[i]-s[i]-8>=r[i]$ ②
因为时间是循环的24:00之后是1:00,所以要分情况讨论第二个公式
i>=8$s[i]-s[i-8]>=r[i]$
i<8$s[i]+s[24]-s[i+16]>=r[i]$

---

整理之后得
$s[i]>=s[i-1]$ ①
$s[i-1]>=s[i]-num[i]$ ②
$s[i]>=s[i-8]+r[i]$ ③
$s[i]=s[i+16]-s[24]+r[i]$ ④
因为差分约束的形式都是x[i]>=x[j]+c，在这里s[24]就是最终的答案，并且申请上岗人员为0_{1000，所以我们可以枚举0}1000中的数来使s[24]变为常数
因为我们枚举的s[24]，所以这个点已经固定了，然后可以利用这两个公式来固定这个点(c为枚举的答案)
$s[24]>=c$$s[24]<=c$ -> $s[24]>=s[0]+c$$s[24]<=s[0]+c$

---

最终得出
s[i]>=s[i-1] ①
s[i-1]>=s[i]-num[i] ②
s[i]>=s[i-8]+r[i] ③
s[i]=s[i+16]-s[24]+r[i] ④
s[24]>=s[0]+c ⑤
s[0]>=s[24]-c ⑥

---

AC代码（C++）：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N=30,M=100;

int n,t;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N];
int cnt[N];
bool st[N];
int num[N],r[N];

void add(int a,int b,int c){
    
    w[idx]=c;
    e[idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx++;
}

bool spfa(int c){
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    idx=0;
    memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
    memset(cnt,0,sizeof cnt);
    memset(st,0,sizeof st);
    
    for(int i=1;i<=24;i++){
    
        add(i-1,i,0);
        add(i,i-1,-num[i]);
        if(i>=8) add(i-8,i,r[i]);
        if(i<8) add(i+16,i,r[i]-c);
    }
    add(0,24,c),add(24,0,-c);
    
    queue<int> q;
    q.push(0);
    dist[0]=0;
    st[0]=true;
    
    while(q.size()){
    
        int t=q.front();
        q.pop();
        st[t]=false;
        cnt[t]++;
        if(cnt[t]>=N) return true;
        
        for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){
    
            int j=e[i];
            if(dist[j]<dist[t]+w[i]){
    
                dist[j]=dist[t]+w[i];
                if(!st[j]){
    
                    q.push(j);
                    st[j]=true;
                }
            }
        }
    }
    return false;
}

int main(){
    
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
    
        memset(num,0,sizeof num);
        for(int i=1;i<=24;i++) scanf("%d",&r[i]);
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
    
            int x;
            scanf("%d",&x);
            num[x+1]++;
        }
        
        bool f=true;
        for(int i=0;i<=1000;i++){
    
            if(!spfa(i)){
    
                printf("%d\n",i);
                f=false;
                break;
            }
        }
        if(f) printf("No Solution\n");
    }
    return 0;
}