浅谈拉格朗日插值及其应用

前言

最近在做历年的NOI原题，然后就做到了[NOI2019] 机器人，惊讶地发现我居然没学过拉格朗日插值！

之前的省选题本来有一道拉插的题（[省选联考 2022] 填树），但是在 $\mathrm{O}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k}$ 的推荐下用了斯特林反演。其实拉插很简单，而且更适合做像填树、机器人这样的DP优化题目。

简介

粘的别人的
在数值分析中，拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。如果对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值，拉格朗日插值法可以找到一个多项式，其恰好在各个观测的点取到观测到的值。上面这样的多项式就称为拉格朗日（插值）多项式。

拉格朗日插值法

众所周知，给出一个 $n$ 次多项式的 $n+1$ 个点值可以唯一地求出这个多项式，一个朴素的求法就是列出 $n+1$ 个方程然后使用高斯消元，复杂度 $O(n^3)$，往往还伴随精度问题。

而拉格朗日插值法可以在 $O(n^2)$ 时间内以足够高的精度求出多项式。

直接上拉格朗日插值公式：
$$f(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$这个式子十分巧妙，因为带入后可以发现它刚好能取到所有的点值，并且次数最大为 $n$。

用这个公式直接求多项式虽然也是 $O(n^3)$（还比高消慢），但是是可以优化滴！

我们可以先求出 $g(x)={\prod }_{i=0}^n(x-x_i)$，然后枚举 $y_i$ 时先 $O(n)$ 计算下面的 ${\prod }_{j\ne i}\frac{1}{x_i-x_j}$，然后由于 $g(x)$ 在计算的时候没有被掐断，所以单个 $(x-x_i)$ 可以整除 $g(x)$，直接 $O(n)$ 递推求出 ${\prod }_{j\ne i}(x-x_j)$ 即可（注意特判 $x_i=0$）。这样总的复杂度就降为了 $O(n^2)$。

求单个点值

这里求单个点值的意思是给出 $k\notin \{x_i|0\le i\le n\}$，我们需要求 $f(k)$。

我们显然可以直接求出 $f(x)$ 然后带入求解，但是当我们的目的仅仅是求出 $f(k)$ 时，这么做就显得麻烦且低效。

我们不妨直接带入拉格朗日插值公式：
$$f(k)=\sum _{i=0}^n{y}_i\prod _{j\ne i}\frac{k-x_j}{x_i-x_j}$$由于不再是求多项式，所以我们可以在 $O(n)$ 时间内求出所有的 ${\prod }_{j\ne i}(k-x_j)$，然后每次枚举 $y_i$ 时就只用求 ${\prod }_{j\ne i}\frac{1}{x_i-x_j}$ 了。虽然还是 $O(n^2)$，但是减小了常数且更简单。

O(n)求单个点值

还是只要求求出 $f(k)$。

在多数应用到拉插的题目中，这 $n+1$ 个点值是满足下标连续，或者等间距的，即 $x_1-x_0=x_2-x_1=...=x_n-x_{n-1}$。

此时我们可以做些预处理（比如当间距等于 1 的时候，你需要预处理阶乘的逆元），然后就可以单次 $O(1)$ 求出 ${\prod }_{j\ne i}\frac{1}{x_i-x_j}$。（需要特别注意符号问题）

应用

有一个经典问题：计算 ${\sum }_{i=1}^n{i}^k$。这个问题显然可以用斯特林反演 $O(k\log k\sim k^2)$ 解决。

众所周知这个东西是一个关于 $n$ 的 $k+1$ 次多项式，所以我们可以先 $O(k)$（忽略快速幂，你也可以用线性筛）求出前 $k+2$ 个点值，然后用上面的方法 $O(k)$ 拉插求出 $n$ 处的答案，这样总复杂度只有 $O(k)$。

更实用的场景是在一些DP题中，比如你需要求 $m$ 个DP值来转移，但是你发现这 $m$ 个点值的函数是一个次数较小的 $n$ 次多项式，那么就可以只求前 $n+1$ 个DP值，剩下的拉插即可。

一般要看出这是个多项式需要归纳证明，但是我不会