二叉搜索树（基操篇）

二叉搜索树（特性篇）介绍了 BST 的基本特性，还利用二叉搜索树「中序遍历有序」的特性来解决了几道题目，本文来实现 BST 的基础操作：判断 BST 的合法性、增、删、查。其中「删」和「判断合法性」略微复杂。

BST 的基础操作主要依赖「左小右大」的特性，可以在二叉树中做类似二分搜索的操作，寻找一个元素的效率很高。比如下面这就是一棵合法的二叉树：

对于 BST 相关的问题，你可能会经常看到类似下面这样的代码逻辑：

void BST(TreeNode root, int target) {
    
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

一、判断 BST 的合法性

力扣第 98 题「 验证二叉搜索树」就是让你判断输入的 BST 是否合法。
需要注意的一点是不能直接比较自己和左右孩子，但这种想法是错误的，BST 的每个节点应该要小于右边子树的所有节点，正确代码如下：

class Solution {
    
    public boolean isValidBST(TreeNode root) {
    
        return traverse(root,null,null);
    }
    public boolean traverse(TreeNode root,TreeNode minNode,TreeNode maxNode){
    
        if(root==null) return true;
        if(minNode!=null&&minNode.val>=root.val) return false;
        if(maxNode!=null&&maxNode.val<=root.val) return false;
        
        return traverse(root.left,minNode,root)&&traverse(root.right,root,maxNode);
    }
}

在 BST 中搜索元素

力扣第 700 题「 二叉搜索树中的搜索」
很简单的二分思想：

/** * Definition for a binary tree node. * public class TreeNode { * int val; * TreeNode left; * TreeNode right; * TreeNode() {} * TreeNode(int val) { this.val = val; } * TreeNode(int val, TreeNode left, TreeNode right) { * this.val = val; * this.left = left; * this.right = right; * } * } */
class Solution {
    
    public TreeNode searchBST(TreeNode root, int val) {
    
        if(root==null) return null;
        if(val<root.val){
    
            return searchBST(root.left,val);
        }else if(val>root.val){
    
            return searchBST(root.right,val);
        }
        return root;
    }
}

在 BST 中插入一个数

对数据结构的操作无非遍历 + 访问，遍历就是「找」，访问就是「改」。具体到这个问题，插入一个数，就是先找到插入位置，然后进行插入操作。

上一个问题，我们总结了 BST 中的遍历框架，就是「找」的问题。直接套框架，加上「改」的操作即可。一旦涉及「改」，就类似二叉树的构造问题，函数要返回 TreeNode 类型，并且要对递归调用的返回值进行接收。

TreeNode insertIntoBST(TreeNode root, int val) {
    
    // 找到空位置插入新节点
    if (root == null) return new TreeNode(val);
    // if (root.val == val)
    // BST 中一般不会插入已存在元素
    if (root.val < val) 
        root.right = insertIntoBST(root.right, val);
    if (root.val > val) 
        root.left = insertIntoBST(root.left, val);
    return root;
}

在 BST 中删除一个数

这个问题稍微复杂，跟插入操作类似，先「找」再「改」，先把框架写出来再说

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    
    if (root.val == key) {
    
        // 找到啦，进行删除
    } else if (root.val > key) {
    
        // 去左子树找
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
    
        // 去右子树找
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

找到目标节点了，比方说是节点 A，如何删除这个节点，这是难点。因为删除节点的同时不能破坏 BST 的性质。有三种情况，用图片来说明。

情况1： A 恰好是末端节点，两个子节点都为空，那么它可以当场去世了。

if (root.left == null && root.right == null)
    return null;

情况 2：A 只有一个非空子节点，那么它要让这个孩子接替自己的位置。

if(root.left==null) return root.right;
if(root.right==null) return root.left;

情况 3：A 有两个子节点，麻烦了，为了不破坏 BST 的性质，A 必须找到左子树中最大的那个节点，或者右子树中最小的那个节点来接替自己。我们以第二种方式讲解。

if(root.left!=null&&root.right!=null){
    
	TreeNode minNode=getMin(root.right);
	root.val=minNode.val;
	root.right=deleteNode(root.right,minNode.val);
}

三种情况分析完毕，填入框架，简化一下代码

TreeNode deleteNode(TreeNode root, int key) {
    
    if (root == null) return null;
    if (root.val == key) {
    
        // 这两个 if 把情况 1 和 2 都正确处理了
        if (root.left == null) return root.right;
        if (root.right == null) return root.left;
        // 处理情况 3
        // 获得右子树最小的节点
        TreeNode minNode = getMin(root.right);
        // 删除右子树最小的节点
        root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
        // 用右子树最小的节点替换 root 节点
        minNode.left = root.left;
        minNode.right = root.right;
        root = minNode;
    } else if (root.val > key) {
    
        root.left = deleteNode(root.left, key);
    } else if (root.val < key) {
    
        root.right = deleteNode(root.right, key);
    }
    return root;
}

TreeNode getMin(TreeNode node) {
    
    // BST 最左边的就是最小的
    while (node.left != null) node = node.left;
    return node;
}

这样，删除操作就完成了。注意一下，上述代码在处理情况 3 时通过一系列略微复杂的链表操作交换 root 和 minNode 两个节点：

// 处理情况 3
// 获得右子树最小的节点
TreeNode minNode = getMin(root.right);
// 删除右子树最小的节点
root.right = deleteNode(root.right, minNode.val);
// 用右子树最小的节点替换 root 节点
minNode.left = root.left;
minNode.right = root.right;
root = minNode;

有的读者可能会疑惑，替换 root 节点为什么这么麻烦，直接改 val 字段不就行了？看起来还更简洁易懂：

仅对于这道算法题来说是可以的，但这样操作并不完美，我们一般不会通过修改节点内部的值来交换节点。因为在实际应用中，BST 节点内部的数据域是用户自定义的，可以非常复杂，而 BST 作为数据结构（一个工具人），其操作应该和内部存储的数据域解耦，所以我们更倾向于使用指针操作来交换节点，根本没必要关心内部数据.

最后总结一下吧，通过这篇文章，我们总结出了如下几个技巧：

1. 如果当前节点会对下面的子节点有整体影响，可以通过辅助函数增长参数列表，借助参数传递信息。
2. 在二叉树递归框架之上，扩展出一套 BST 代码框架：

void BST(TreeNode root, int target) {
    
    if (root.val == target)
        // 找到目标，做点什么
    if (root.val < target) 
        BST(root.right, target);
    if (root.val > target)
        BST(root.left, target);
}

3. 根据代码框架掌握了 BST 的增删查改操作。