hash 表的概念及应用

哈希表在算法中是不得不需要掌握的一种算法

1. hash 表的2种应用

常见用于将较大范围的数据，但是通常是离散化的，将大范围的数据映射到小范围的题型。之间讲解的区间和就是这类题型。

1.1. 拉链法

比如L取值范围是[-10⁹ - 10⁹] , 我们需要映射到10⁵ 范围内
通用做法是：

1. 先对x mod 10⁵ （这里的10⁵ 是随便取值的， 如果想要冲突值少， 有经验值是131 或者是13331）
2. 处理冲突（因为大范围映射到小范围可能大概率会出现重复） 例子： h(11) = 3, h(23) = 3 （这里h 函数就是哈希函数）

一般在哈希表中，只要实现的操作是添加和查找， 如果真需要实现删除，应该是在相应标记位上做一个标记

寻找一个大于100000 的质数
code:

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    
    for(int i = 100000;; i ++)
    {
    
        bool flag = true;
        for(int j = 2; j * j <= i; j ++)
            if(i % j == 0)
            {
    
                flag = false;
                break; 
            }
        if (flag)
        {
    
            cout << i << endl;
            break;
        }
    }
    return 0;
}

1.2. 开放寻址法

另外的开放寻址法在这篇文章中有介绍：
https://blog.csdn.net/qq_39486027/article/details/125096272

开放寻址法：一般开数组是原先小范围的2-3倍
添加：

1. 经过h(x) 得出应该存在哪一个位置；
2. 看该位置是否有人，如果有人继续往下，直到没有人，保存；如果没人，直接保存。

查找：

• 直接查找指定的位置，如果有元素，比较是不是查找的值， 不等于，看下一个位置是不是，依次类推，直到找到或者下一次没有元素

删除：

• 先查找，如果找到后，做一个标记

下面有个相关模拟hash 得例题：

2. hash 表的相关例题

题目：
维护一个集合，支持如下几种操作：

I x，插入一个数 x；
Q x，询问数 x 是否在集合中出现过；
现在要进行 N 次操作，对于每个询问操作输出对应的结果。

输入格式
第一行包含整数 N，表示操作数量。

接下来 N 行，每行包含一个操作指令，操作指令为 I x，Q x 中的一种。

输出格式
对于每个询问指令 Q x，输出一个询问结果，如果 x 在集合中出现过，则输出 Yes，否则输出 No。

每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109

输入样例：
5
I 1
I 2
I 3
Q 2
Q 5
输出样例：
Yes
No

2.1 拉链法代码实现：

Code:

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 100003;
int h[N], e[N], ne[N], idx;

/// 拉链法
void insert(int x)
{
    
    int k = (x % N + N) % N;
    e[idx] = x;     // 单链表的插入 
    ne[idx] = h[k];
    h[k] = idx ++;
}

bool find(int x)
{
    
    int k = (x % N + N ) % N;
    for(int i=h[k]; i != -1; i= ne[i])
        if(e[i] == x)
            return true;
    return false;
}

int main()
{
    
    int n;
    cin >> n;
    memset(h, -1, sizeof h);

    while(n --)
    {
    
        char op[2];
        int x;
        cin >> op >> x;
        if(op[0] =='I') insert(x);
        else
        {
    
            if(find(x)) puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

2.2 开放寻址法代码实现：

Code:

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

const int N = 200003, null = 0x3f3f3f3f;
int h[N];

// 开放寻址法
// 返回的x ： 存在的话， 返回x的位置
// 不存在的话， 返回的是应该存储的位置
int find(int x)  
{
    
    int k = (x % N + N) % N;

    while(h[k] != null && h[k] != x)
    {
    
        k++;
        if(k == N) k = 0;
    }
    return k;
}


int main()
{
    
    int n;
    cin >> n;
    memset(h, 0x3f, sizeof h);

    while(n --)
    {
    
        char op[2];
        int x;
        cin >> op >> x;
        if(op[0] =='I') 
        {
    
            int k = find(x);
            h[k] = x;
        }
        else
        {
    
            int k = find(x);
            if(h[k] != null)  puts("Yes");
            else puts("No");
        }
    }

    return 0;
}

3. 字符串hash 方式

另外一个是字符串hash。

3.1 字符串hash 处理原理

这里是讲字符串前缀哈希
例如： str = “ABCDEFG”
我们利用hash 函数需要求出字符串前缀哈希，什么是字符串前缀哈希呢
h[0] = 0
h[1] = “A” 的hash 值
h[2] = “AB” 的hash 值
h[3] = “ABC” 的hash 值
…

那么我们如何定义这个前缀hash值，这里用得步骤方法时这样的

例如： str = “ABCD”

第一步： 将上面的字符 映射成从1开始的 A - 1; B - 2 …
第二步： 将上面的字符串看成是一个P进制的数 （1234）p 。 这里的P 是一个经验值 ： 131 或者是13331.
第三步： 然后将上面的P进制的数转换成 十进制的数字。 然后mod 一个数字264. 为了保证不冲突。
（1 * P3 + 2 * P2 + 3 * P 1 + 4 * P 0） mod （264）.
这里映射成hash值是保证不冲突的，所以在这里不用考虑冲突处理的方式。

【注意】：

1. 不能将字符映射成0
   2.假定人品足够好， 不存在冲突， 一般来说， p 取 131、13331 是 ；q取 2⁶⁴ 时， 几乎不存在冲突。

3.2 字符串哈希 计算推导

有了上面计算前缀字符串hash 值，我们可以计算每段每段字符串的hash 值，怎么做呢

举个例子： 加入需要求L-R 这一段的hash 值。

因为已知的是前缀hash 值，h[R] 、h[L - 1] 都知道。
我们这里是将这段字符看成P 进制的数， 因此左边是高位，右边是低位。

计算公式在图中已经给出

在一些题目中，是只能用字符串哈希处理的，用kmp 都没这个方法好，所以一定他要知道

3.3 字符串哈希应用例题

下面有一个相关得例题

题目：
给定一个长度为n的字符串，再给定m个询问，每个询问包含四个整数l1,r1,l2,r2，请你判断[l1,r1]和[l2,r2]这两个区间所包含的字符串子串是否完全相同。
字符串中只包含大小写英文字母和数字。
输入格式
第一行包含整数n和m，表示字符串长度和询问次数。
第二行包含一个长度为n的字符串，字符串中只包含大小写英文字母和数字。
接下来m行，每行包含四个整数l1,r1,l2,r2，表示一次询问所涉及的两个区间。
注意，字符串的位置从1开始编号。
输出格式
对于每个询问输出一个结果，如果两个字符串子串完全相同则输出“Yes”，否则输出“No”。
每个结果占一行。
数据范围
1≤n,m≤105

输入样例：
8 3
aabbaabb
1 3 5 7
1 3 6 8
1 2 1 2

输出样例：
Yes
No
Yes

3.4 字符串哈希代码实现

Code：

#include <iostream>
using namespace std;

typedef unsigned long long ULL;
const int N = 100010, P = 131;  // 这里的P 是经验值 131 ，或者13331

int n,m;
char str[N];
// 这里用unsigned long long 存储就相当于mod 2 ^ 64, 因为超过了会溢出的
ULL h[N], p[N];   // h[]是存储字符串哈希值的 p[] 是存储p次方的 

ULL get(int l, int r)
{
    
    return h[r] - h[l -1] * p[r - l + 1];     // 区间hash 的公式
}

int main()
{
    
    scanf("%d%d%s", &n, &m, str + 1);
    
    p[0] = 1;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
    
        p[i] = p[i-1] * P;  // p数组保存 计算的次方数
        h[i] = h[i-1] * P +str[i];   // 计算字符串的前缀， 后面的是0次 所以直接加上str[i]就行了
    }
    
    while(m -- )
    {
    
        int l1, r1, l2, r2;
        scanf("%d%d%d%d", &l1, &r1, &l2, &r2);
        if(get(l1, r1) == get(l2, r2)) cout << "Yes" << endl;
        else cout << "No" << endl;
    }
    return 0;
}

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