常见的最优化方法

前言

在神经网络的训练中，其本质就是找到合适的参数，使得loss function最小。然而这个最小值实在是太难求了，因为参数太多了。为了解决这个问题，目前有几种常见的最优化方法。

随机梯度下降法

这是最最最经典的一个算法，也是比较常用的方法。相比于随机搜素，这个方法已经非常优秀了，但是仍然存在着一些不足。

缺点

1. 步长的取值对结果有较大的影响：步长过多会无法收敛，步长过小，训练时间过长，甚至无法收敛。
2. 某些函数的梯度并不少指向其最小值，例如函数是$z=\frac{x^2}{100}+y^2$，这个函数图像是一个对称的，狭长的“山谷”。
3. 因为部分梯度不是指向最小值，这会造成其找到最优解的路径十分曲折，而且对应较为“平坦”的地方，其可能无法求出最优解。

AdaGrad

由于梯度的性质，决定了其很难在部分地方能够改进，但是对于步长这个超参也可以有优化。
一种比较普遍的方法就是步长衰减，最开始的步长比较大，因为这个时候一般与最优解还相差比较远，可以多走些，以提高训练速度。随着训练的继续，步长不断衰减，因为此时已经更加接近最优解了，如果步长太大可能错过最优解或者无法收敛。
衰减参数一般与已经训练过的梯度有关
$$\begin{gathered} h\leftarrow h+\frac{\partial L}{\partial W}\cdot \frac{\partial L}{\partial W} \\ W\leftarrow W-\eta \frac{1}{\sqrt{h}}\cdot \frac{\partial L}{\partial W} \end{gathered}$$

Momentum

这个单词的解释是动量，根据物理中的定义$F\cdot t=m\cdot v$。
为了更加生动地理解这种方法，不妨考虑一个三维空间中的一个曲面，上面有一个球，需要滚到最低点。
为了方便计算，部分把球的质量视作单位1，则对该式子求时间的导数：$\frac{dF}{dt}\cdot dt=m\cdot \frac{dv}{dt}\Rightarrow dF=m\cdot \frac{dv}{dt}$。
考虑这个小球受到的“力”：当前位置倾斜所带来的重力的分力（梯度），阻碍运动的摩擦力（在无梯度时候速度会衰减）。
那么就可以很轻松地写出小球下一时刻的速度与位置了：$$\begin{gathered} v\leftarrow \alpha \cdot v-\frac{\partial F}{\partial W} \\ w\leftarrow w+v \end{gathered}$$

优点

这种方法能够很好接近梯度不指向最优解的问题，即便是一个梯度不指向最优解，但是只有它存在的向最优解的速度，那么它就可以继续向最优解靠近。