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多普勒效應（多普勒頻移）

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• 公式
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人物介紹

克裏斯蒂安·安德烈亞斯·多普勒（Christian Andreas Doppler，1803年11月29日－1853年3月17日）多普勒效應發現者，奧地利數學家、物理學家。出生於奧地利薩爾茨堡的一個石匠家族，曾在維也納工學院學習。1841年成為布拉格理工學院的數學教授，1850年，多普勒擔任維也納大學物理學院的首任院長，1853年在意大利的威尼斯去世，終年49歲。

現象

多普勒效應（Doppler effect）是波源與觀察者有相對運動時，觀察者接受到波的頻率與波源發出的頻率並不相同的現象。生活中比較常見的例子是遠方急駛過來的火車鳴笛聲變得尖細（即頻率變高，波長變短），而離我們而去的火車鳴笛聲變得低沉（即頻率變低，波長變長），這就是多普勒效應現象，同樣的現象也發生在私家車鳴響與火車的敲鐘聲，音頻參見聲的多普勒效應。而關於頻率和波長的直觀感受如下圖所示（來自wiki）。

曆史

多普勒效應是由奧地利物理學家於1842年首次提出，其後由 Buys Ballot在聲波中驗證，而後1848年Hippolyte Fizeau獨立在電磁波發現了相同的現象，同年John Scott Russell 對多普勒效應進行了實驗研究。目前該效應廣泛應用於天文、雷達及醫療等領域。

公式

觀察者和發射源的頻率關系為：

其中，為觀察到的頻率；為發射源於該介質中的原始發射頻率；為波在該介質中的行進速度；為觀察者相對於介質的移動速度，若接近發射源則前方運算符號為號，反之為號；為發射源相對與介質的移動速度，若接近觀察者則前方運算符號為號，反之為號。

證明

本文僅介紹在傳統物理學（即不考慮相對論帶來的效應）中采用雷達探測的基本原理證明上述多普勒公式，此處參見雷達基礎知識—運動目標的多普勒頻率。雷達的工作原理是發射一些無線電脈沖來探測目標，並通過測量接受回波的信號延遲來推算目標的距離，即延遲時間為脈沖走過的雙程距離除以其傳播速度。事實上可以更進一步，雷達也可以通過多普勒效應來捕捉運動目標的多普勒頻率，從而准確反演出其運動速度，所以對於雷達來說，運動目標的多普勒頻率具體是如何產生的，並且它與目標速度以及雷達工作頻率之間究竟有什麼數學關系呢？

假設雷達以特定的頻率發射脈沖，如果這個脈沖遇到了一個朝它運動的目標並反射回來，那麼脈沖波形就會被壓縮得更緊。這就意味著回波信號相對於發射信號除了存在時延以及强度變弱之外，其載波頻率也會有一定得昇高。這就錶明我們可以通過捕捉載波頻率的微弱變化來完成對運動目標的速度提取。

為簡單起見，假設目標以速度相對於雷達做徑向運動，雷達發射寬度為的電磁脈沖，其在自由空間中按照光速進行傳播，假設在時刻雷達脈沖前沿恰好目標，由於雷達脈沖寬度為因此此時雷達脈沖後沿在空間上滯後前沿的距離為，而後雷達脈沖前沿會經目標反射後開始反向傳播，而雷達脈沖的後沿和運動目標，則分別按照各自既定的速度繼續前進在經曆一小段時間後，它們將於時刻在空間相遇。在此段時間內，反射的脈沖前沿與後延一樣也會行進相同的距離，將共同構成發射脈沖的時間邊界而且從圖中可以明顯看出發射脈沖的確被運動目標壓縮的更窄了。我們假設其新的脈沖寬度為。

通過圖從簡單的距離關系得到如下兩個方程式：

將兩式相除即可得到脈沖寬度被壓縮的比率為

由此式可得脈沖壓縮比大於1，並且運動目標速度越大，脈沖壓縮越劇烈。為了一般性討論，我們假設原始脈沖寬度恰好包含了個整數振蕩周期。因此按照頻率的定義即單比特時間內振蕩的周期數，我們可以得到其載波頻率為

而脈沖內載波的振蕩周期數目絕不會因為脈沖寬度被壓縮而發生改變，因此可以得到反射脈沖的信號頻率為

將（3）中的用、以及來錶示便得到

因此證明完畢。

不過這錶明反射信號的頻率會按照同樣的脈寬壓縮比昇高，由此可以預計其與發射信號頻率的差值，正是由運動目標的多普勒頻率即

由此可得三個結論：
1、目標徑向速度越大，多普勒頻率越高。
2、雷達工作波長越短，多普勒頻率越高。
3、通過測量多普勒頻率可以計算目標的速度：。

需要注意的是其中的2是因為波束的往返，與通信中常用的最大多普勒頻移的不同。

參考文獻

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Doppler_effect

[2] https://www.bilibili.com/video/BV1634y1o7EZ?spm_id_from=333.337.search-card.all.click