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误差的基本知识

2022-07-06 05:58:00 【瞻邈】

用计算机进行实际问题数值计算，计算误差是不可避免的。误差的来源主要有四个方面：

用数学模型描述实际问题，一般都要作一定的简化，由此产生的数学模型的解与实际问题的解之间会有差异，这种差异称为模型误差。

数学模型中包含的某些参数或常数，往往是通过仪器观测或实验获得其数值的，这样得到的观测数值与实际数值之间会有误差，这种误差称为观测误差。

求解数学模型所用的数值计算方法往往是近似方法，从而只能得到数学模型的近似解，由此产生的误差称为方法误差。由于近似方法一般都要用有限的四则算术运算步骤来代替无穷的极限运算，这种由截断一个无穷过程而引起的误差，就是截断误差。因而方法误差也称为截断误差。

由于电子数字计算机只能将数表示成有限位进行运算，所以对超过位数的数字要按一定的规则舍入，由此产生的误差称为舍入误差。

数值计算方法主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响，一般不考虑模型误差和观测误差。

数值计算中处理的数据和计算的结果，通常都是近似值，它们与准确值之间存在着误差。

设 x^* 是准确值x的一个近似值，则称 e=x^*-x 为近似值 x^* 的绝对误差。

把近似值 x^* 的绝对误差与准确值x之比称为近似值 x^* 的相对误差，记为

$e_r=\frac{e}{x}=\frac{x^*-x}{x}$

实际上，由于准确值x是未知的，所以通常把相对误差改取为

$e_r=\frac{e}{x}=\frac{x^*-x}{x^*}$

数值计算中误差传播情况比较复杂，要对每一步计算的误差进行精确估计难以做到，因而通常采用微分误差分析方法估计误差，即误差较小时忽略二阶及二阶以上的误差高阶小量。

所谓的数值稳定的算法是指，在数字计算机执行这个数值算法的过程中，产生的舍入误差能够被控制在一定范围内，并对最终的结果影响不大。如果计算过程中舍入误差不断增大，使最终结果与准确值相差较大，这样的算法就是数值不稳定的算法。

用数值稳定性好的计算方法，以便控制舍入误差的传播；

两个数量级相差很大的数进行加减运算时，要防止小的那个数加减不到大的数中所引起的严重后果；

避免两个相近的数相减，以免严重损失有效数字；

在除法运算中，避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；

防止出现机器零和溢出停机；

简化计算步骤，减少运算次数。

高等工程数学

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