acwing 843. n-皇后问题

n−皇后问题是指将 n 个皇后放在 n×n 的国际象棋棋盘上，使得皇后不能相互攻击到，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

现在给定整数 n，请你输出所有的满足条件的棋子摆法。

输入格式
共一行，包含整数 n。

输出格式
每个解决方案占 n 行，每行输出一个长度为 n 的字符串，用来表示完整的棋盘状态。

其中 . 表示某一个位置的方格状态为空，Q 表示某一个位置的方格上摆着皇后。

每个方案输出完成后，输出一个空行。

注意：行末不能有多余空格。

输出方案的顺序任意，只要不重复且没有遗漏即可。

数据范围
1≤n≤9
输入样例：
4
输出样例：
.Q…
…Q
Q…
…Q.

…Q.
Q…
…Q
.Q…

这题也是DFS， 可以根据全排列的

解法1：按行枚举 （也是跟上一题 全排列类似的）
可以作为模版进行记忆

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 20; 

// bool数组用来判断搜索的下一个位置是否可行
// col列，dg对角线，udg反对角线
// g[N][N]用来存路径

int n;
char g[N][N];
bool col[N], dg[N], udg[N];

void dfs(int u) {
    
    // u == n 表示已经搜了n行，故输出这条路径
    if (u == n) {
    
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) puts(g[i]);   // 等价于cout << g[i] << endl;
        puts("");  // 换行
        return;
    }
    
	// 枚举u这一行，搜索合法的列, // 这里可将行看成y， 列看成x
    // 这里是枚举第u行， 第i 列， 是否放皇后， u= y, i = x 后 ===》 对角线就是 u + i、u - i + n
	for (int i = 0; i < n; i ++ )
		// 剪枝(对于不满足要求的点，不再继续往下搜索) 
        if (!col[i] && !dg[u + i] && !udg[n - i + u])
        {
    
            g[u][i] = 'Q';
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - i + u] = true;
            dfs(u + 1);
            col[i] = dg[u + i] = udg[n - i + u] = false;
            g[u][i] = '.';   // 恢复现场
        }
}

int main() {
    
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            g[i][j] = '.';

    dfs(0);

    return 0;
}  

方法2： 按照每个元素进行枚举
每个位置都有2种情况，放还是不放，总共就有n²

时间复杂度： O(2的n²次方)， 打不出来了，见谅

原理图： 就类似这样画下去

思路： 按照每个位置放不放的步骤一点一点进行搜索。

code：

// 不同搜索顺序 时间复杂度不同 所以搜索顺序很重要！
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 20;

int n;
char g[N][N];
bool row[N], col[N], dg[N], udg[N]; // 因为是一个个搜索，所以加了row

// s表示已经放上去的皇后个数
void dfs(int x, int y, int s)
{
    
    // 处理超出边界的情况， 这个是直接一行进行放还是不放， 一行走完了，跳到下一行开始
    if (y == n) y = 0, x ++ ;  

    if (x == n) {
     // x==n说明已经枚举完n^2个位置了
        if (s == n) {
     // s==n说明成功放上去了n个皇后
            for (int i = 0; i < n; i ++ ) puts(g[i]);
            puts("");
        }
        return;
    }

    // 分支1：放皇后
    if (!row[x] && !col[y] && !dg[x + y] && !udg[x - y + n]) {
    
        g[x][y] = 'Q';
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = true;
        dfs(x, y + 1, s + 1);
        row[x] = col[y] = dg[x + y] = udg[x - y + n] = false;
        g[x][y] = '.';
    }

    // 分支2：不放皇后
    dfs(x, y + 1, s);
}


int main() {
    
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            g[i][j] = '.';

    dfs(0, 0, 0);

    return 0;
}