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二叉树的基本概念和性质

2022-07-07 16:50:00 【Brant_zero】

一、树的概念和结构

1.1 树的概念

一、树的概念和结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，他是由n(n>=0)个有限结点组成的一个具有层次关系的集合。叫做树是因为其结构像一颗倒挂的树，即根朝上，而叶朝下。
有一个特殊的节点，称为根节点，根结点没有前驱结点。
除了根节点，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2……Tn，其中每一个集合Ti(1 <= i <= n)又是一颗树结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继结点。
因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，而应是图型的数据结构。

1.2 树的重要概念

重要：
节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如上图：A的度为6。
叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；如上图：B、C、H、I……等为叶节点。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图:A是B的父节点。
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为节点的子节点；如上图：B是A的孩子节点。
树的高度或深度：树种节点的最大层次；如上图：树的高度为4。
节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先。
子孙：从某节点为根的子树种任一节点都称之为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙。
树的度：一颗树中，最大节点的度称之为树的度；如上图：树的度为6。
其次：
非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图：D、E、F、G……等节点为分支节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点称为兄弟节点；如上图：B、C是兄弟节点。
节点的层次：从根开始定义起，根为第一层，根的子节点为第二层，以此类推；
堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为堂兄弟节点。
森林：由m(M>0)棵互不相交的树的集合称为森林。

1.3 树的表示

树结构相对于线性表就比较复杂了，既要保存值域、也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方法，这里了解一下最常用的孩子兄弟表示法即可。

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType data; // 结点中的数据域
};

二、二叉树概念及结构

2.1 二叉树的概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合：
或则为空
由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：
二叉树不存在度大于2的结点。
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

2.2 特殊的二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一层的结点树都达到最大值，啧啧换个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 $2^{K}$ -1,则它就是满二叉树。
完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据机构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点——对应时称为完全二叉树。(第n层不满但是从左到右为连续，n-1层全满)，要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3 二叉树的性质

重要：
若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有 $2^{i-1}$ 个结点。
若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大节点是 $2^{h}-1$ .
对任何一颗二叉树，如果度为0其叶节点个数为n0，
若规定根节点的层数为1，具有n的结点的满二叉树的深度，.
对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
若i>0,i位置节点的双亲序号：(i-1)/2; i=0, i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n , 左孩子序号：2i+1, 2i+1>=n否则无左孩子
若2i+2<n , 右孩子序号：2i+2，2i+2>=n 否则无右孩子