华为机试题素数伴侣

二分图最大匹配（匈牙利算法）：素数伴侣
顶
题目描述
若两个正整数的和为素数，则这两个正整数称之为“素数伴侣”，如2和5、6和13，它们能应用于通信加密。现在密码学会请你设计一个程序，从已有的N（N为偶数）个正整数中挑选出若干对组成“素数伴侣”，挑选方案多种多样，例如有4个正整数：2，5，6，13，如果将5和6分为一组中只能得到一组“素数伴侣”，而将2和5、6和13编组将得到两组“素数伴侣”，能组成“素数伴侣”最多的方案称为“最佳方案”，当然密码学会希望你寻找出“最佳方案”。

输入
有一个正偶数N（N≤100），表示待挑选的自然数的个数。后面给出具体的数字，范围为[2,30000]。

输出
输出一个整数K，表示你求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

输入描述
1、 输入一个正偶数n
2 、输入n个整数

输出描述
求得的“最佳方案”组成“素数伴侣”的对数。

输入
4
2 5 6 13

输出
2

思路
考虑使用图论的方法来给这个题建模。100个数看成100个点，如果这两个数加起来的和是素数，给这两个数中间连一条边。之后，我们要选择尽可能多的边，要求这些边不共享端点。每个数的取值范围是[2,30000]。素数除了2是偶数，其他是奇数——而现在不可能出现2了，所以我们只考虑奇数的素数。2个数的和是奇数，只有奇数+偶数。所以，我们把这些数分成2堆——奇数和偶数，得到二分图。然后在他们中间，和是素数的，连上一条边，然后做匹配。对二分图的最大匹配，有一个简单很多的算法，匈牙利算法。

相关概念
二分图
二分图其实就是在一个图中所有的点可以分为两组，同一组中没有边，所有的边都跨越了两个组。准确的说：把一个图的顶点划分为两个不相交的集合 U 和 V ，且使得每一条边都分别连接 U 、V 中的顶点，如果存在这样的划分，则称此图为二分图。
此外二分图还有一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。
匹配
二分图匹配就是边的集其中任意两条边没有公共顶点。我们定义有：
匹配边、匹配点、非匹配边、非匹配点。
如图：若1—2相连，5—4相连，7—6相连。则显然1—2边、5—4边、7—6边为匹配边，1、2、4、5、6、7为匹配点。剩下的为非匹配点和非匹配边。

最大匹配
一个图的匹配中所含边数最多的匹配即为此图最大匹配。像上图最大匹配即为：

显然最大匹配可能不只有一种。
完美匹配
如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。上图都是完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
交替路径
从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边……形成的路径叫交替路径。如图2—>1—>8—>7即为一条交替路径。

增广路径
从一个未匹配点出发，走交替路径，如果到达另一个未匹配点，则这条交替路径称为增广路径（agumenting path）。如图1—>2—>3—>6—>7—>8即为一条增广路径。
代码参考

import java.util.Scanner;
import java.util.ArrayList;

public class Main{
    
    
    static int max=0;
    public static void main(String[] args){
    
        //标准输入
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        while(sc.hasNext()){
    
            //输入正偶数
            int n=sc.nextInt();
            //用于记录输入的n个整数
            int[] arr=new int[n];
            //用于存储所有的奇数
            ArrayList<Integer> odds=new ArrayList<>();
            //用于存储所有的偶数
            ArrayList<Integer> evens=new ArrayList<>();
            for(int i=0;i<n;i++){
    
                arr[i]=sc.nextInt();
                //将奇数添加到odds
                if(arr[i]%2==1){
    
                    odds.add(arr[i]);
                }
                //将偶数添加到evens
                if(arr[i]%2==0){
    
                    evens.add(arr[i]);
                }
            }
            //下标对应已经匹配的偶数的下标，值对应这个偶数的伴侣
            int[] matcheven=new int[evens.size()];
            //记录伴侣的对数
            int count=0;
            for(int j=0;j<odds.size();j++){
    
                //用于标记对应的偶数是否查找过
                boolean[] v=new boolean[evens.size()];
                //如果匹配上，则计数加1
                if(find(odds.get(j),matcheven,evens,v)){
    
                    count++;
                }
            }
            System.out.println(count);
        }   
    }
    
    //判断奇数x能否找到伴侣
    private static boolean find(int x,int[] matcheven,ArrayList<Integer> evens,boolean[] v){
    
        for(int i=0;i<evens.size();i++){
    
            //该位置偶数没被访问过，并且能与x组成素数伴侣
            if(isPrime(x+evens.get(i))&&v[i]==false){
    
                v[i]=true;
                /*如果i位置偶数还没有伴侣，则与x组成伴侣，如果已经有伴侣，并且这个伴侣能重新找到新伴侣， 则把原来伴侣让给别人，自己与x组成伴侣*/
                if(matcheven[i]==0||find(matcheven[i],matcheven,evens,v)){
    
                    matcheven[i]=x;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    //判断x是否是素数
    private static boolean isPrime(int x){
    
        if(x==1) return false;
        //如果能被2到根号x整除，则一定不是素数
        for(int i=2;i<=(int)Math.sqrt(x);i++){
    
            if(x%i==0){
    
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}