深度学习入门之线性代数（PyTorch）

李沐老师学习笔记

线性代数

标量

简单操作

c = a + b
c = a·b
c = sin a

长度

$|a|=\{\begin{array}{ll}a& ifa>0\\ -a& otherwise\end{array}$
$|a+b|\le |a|+|b|$
$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$

向量

简单操作

$c=a+bwhere{c}_i=a_i+b_i$
$c=\alpha \cdot bwhere{c}_i=\alpha b_i$
$c=sinawhere{c}_i=sin{a}_i$

长度

向量的长度，也就是向量的每个元素平方求和再开根号
$||a|{|}_2=[{\sum }_{i=1}^m{a}_i^2{]}^{\frac{1}{2}}$
$||a||\ge 0foralla$
三角定理 $||a+b||\le ||a||+||b||$
如果 a 是一个常数的话 $||a\cdot b||=|a|\cdot ||b||$

绿色是c

点乘

$a^{T}b={\sum }_i{a}_i{b}_i$

正交

$a^{T}b={\sum }_i{a}_i{b}_i=0$

矩阵

简单操作

乘法（矩阵乘以向量）

乘法（矩阵乘以矩阵）

范数

$$c=A\cdot bhence||c||\le ||A||\cdot ||b||$$

• 取决于如何衡量 b 和 c 的长度
  
  
• 常见范数
• 矩阵常数：最小的满足的上面公式的值
• Frobenius 范数
  $$||A|{|}_{Frob}=[\sum _{ij}{A}_{ij}^2{]}^{\frac{1}{2}}$$

特殊矩阵

• 正交矩阵
  所有行都相互正交
  所有行都有单位长度 \qquad $Uwith{\sum }_j{U}_{ij}{U}_{kj}={\delta }_{ik}$
  可以写成 $U{U}^T=1$

• 置换矩阵
  $Pwhere{P}_{ij}=1ifandonlyifj=\pi (i)$
  置换矩阵是正交矩阵

特征向量和特征值

矩阵就是将空间进行扭曲

• 不被矩阵改变方向的向量
  
• 对称矩阵总是可以找到特征向量

线性代数实现

标量

标量由只有一个元素的张量表示

import torch

x = torch.tensor([3.0])
y = torch.tensor([2.0])

x + y, x * y, x / y, x ** y

(tensor([5.]), tensor([6.]), tensor([1.5000]), tensor([9.]))

向量

你可以将向量视为标量组成的列表

x = torch.arange(4)
x

tensor([0, 1, 2, 3])
通过张量的索引来访问任一元素

x[3]

tensor(3)

index 都是从0开始的，数学的 index 是从1开始的

访问张量的长度

len(x)

4
只有一个轴的张量，性状只有一个元素

x.shape

torch.size([4])

矩阵

通过指定两个分量m和n来创建一个性状为m × n 的矩阵

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A

tensor([[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11],
[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19]])

矩阵的转置

A.T

tensor([[ 0, 4, 8, 12, 16],
[ 1, 5, 9, 13, 17],
[ 2, 6, 10, 14, 18],
[ 3, 7, 11, 15, 19]])

对称矩阵（symmetric matrix）A 等于其转置：$A=A^T$

B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])
B

tensor([[1, 2, 3],
[2, 0, 4],
[3, 4, 5]])

B == B.T

tensor([[True, True, True],
[True, True, True],
[True, True, True]])


就像向量是标量的推广，矩阵就是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
X

tensor([[[ 0, 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6, 7],
[ 8, 9, 10, 11]],

[[12, 13, 14, 15],
[16, 17, 18, 19],
[20, 21, 22, 23]]])


给定具有相同性状的任何两个张量，任何按元素二元结算的结构都将是相同性状的张量。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B
A, A+B

(tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]]),
tensor([[ 0., 2., 4., 6.],
[ 8., 10., 12., 14.],
[16., 18., 20., 22.],
[24., 26., 28., 30.],
[32., 34., 36., 38.]]))

两个矩阵的按元素乘法称为 哈达玛积（Hadamard product）(数学符号⊙)

A * B

tensor([[ 0., 1., 4., 9.],
[ 16., 25., 36., 49.],
[ 64., 81., 100., 121.],
[144., 169., 196., 225.],
[256., 289., 324., 361.]])

a = 2
X =torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)
a+X, (a*X).shape

(tensor([[[ 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9],
[10, 11, 12, 13]],

[[14, 15, 16, 17],
[18, 19, 20, 21],
[22, 23, 24, 25]]]),
torch.Size([2, 3, 4]))

计算其元素的和

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)
x, x.sum()

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

指定求和汇总张量的轴

A = torch.arange(20*2).reshape(2, 5, 4)

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)
A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

(tensor([[20, 22, 24, 26],
[28, 30, 32, 34],
[36, 38, 40, 42],
[44, 46, 48, 50],
[52, 54, 56, 58]]),
torch.Size([5, 4]))

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)
A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

(tensor([[ 40, 45, 50, 55],
[140, 145, 150, 155]]),
torch.Size([2, 4]))

A.sum(axis=[0, 1, 2])	# Same as `A.sum()`

tensor(780)

可以理解为 axis=？ ，就将那个维度处理掉

一个与求和相关的量是 平均值（mean或average）

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)
A.mean(), A.sum() / A.numel()

(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]

(tensor([ 8., 9., 10., 11.]), tensor([ 8., 9., 10., 11.]))

计算总和或均值时保持轴数不变

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)
sum_A

tensor([[ 6.],
[22.],
[38.],
[54.],
[70.]])

通过广播将A除以sum_A

A / sum_A

tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
[0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
[0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
[0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
[0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

某个轴计算A元素的累计总和

A.cumsum(axis=0)

tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 6., 8., 10.],
[12., 15., 18., 21.],
[24., 28., 32., 36.],
[40., 45., 50., 55.]])

点积是相同位置的按元素乘积的和

y = torch.ones(4, dtype=torch.float32)
x, y, torch.dot(x, y)

(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积

torch.sum(x * y)

tensor(6.)

矩阵向量积Ax是一个长度为m的列向量，其$i^{th}$元素是点积 $a_i^{T}x$

print(A) 
print(x)
A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)

tensor([[ 0., 1., 2., 3.],
[ 4., 5., 6., 7.],
[ 8., 9., 10., 11.],
[12., 13., 14., 15.],
[16., 17., 18., 19.]])
tensor([0., 1., 2., 3.])

(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14., 38., 62., 86., 110.]))

我们可以将矩阵-矩阵乘法AB看作是简单地执行m次矩阵-向量积，并将结果拼接在一起，形成 n X m 矩阵

B = torch.ones(4, 3)
torch.mm(A, B)

tensor([[ 6., 6., 6.],
[22., 22., 22.],
[38., 38., 38.],
[54., 54., 54.],
[70., 70., 70.]])

$L_2$范数是向量元素平方和的平方根：
$$||x|{|}_2=\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2}$$

u = torch.tensor([3.0, -4.0])
torch.norm(u)

tensor(5.)

范数 就是一个向量或者矩阵的长度

$L_1$范数，它表示为向量元素的绝对值之和：
$$||x|{|}_1=\sum _{i=1}^n|x_i|$$

torch.abs(u).sum()

tensor(7.)

矩阵的弗罗贝尼乌斯范数(Frobenius norm) 是矩阵元素的平方和的平方根：
$$||X|{|}_F=\sqrt{\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{x}_{ij}^2}$$

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

tensor(6.)

等价于是把这个矩阵拉成一个向量，然后做向量的范数

QA

Q1：为什么机器学习要用张量来表示？
统计学较多使用张量来表示。

Q2：copy和clone的区别？
copy 可能不会复制内存，分浅拷贝和深拷贝
clone 必然会复制内存

Q3：torch不区分行向量和列向量？
如果想要区分行向量和列向量，需要使用矩阵。
如果用向量，向量对于计算机来说就是一个一维数组。