预测——灰色预测

1、作用

灰色预测是一种对含有不确定因素的系统进行预测的方法。灰色预测通过鉴别系统因素之间发展趋势的相异程度，即进行关联分析，并对原始数据进行生成处理来寻找系统变动的规律，生成有较强规律性的数据序列，然后建立相应的微分方程模型，从而预测事物未来发展趋势的状况。

2、输入输出描述

输入：１个时间序列数据定量变量
输出：灰色预测的拟合预测结果​

3、案例示例

基于2000-2021年某产品的年销售量，使用灰色预测模型对未来年销售量进行预测。

4、建模步骤

1.在建立灰色预测模型之前必须要保障建模方法的可行性,即需要对已知的原始数据进行级比检验 设初始非负数据序列为：

只有当所有的 σ(k) 全部落入计算范围内才可以进行模型的建立。 级比的计算和判断公式分别为:

通过累加运算后得到的一阶累加序列可以弱化的扰动：

是 的紧邻均值生成的序列:

故可以求得 GM(1,1)模型对应微分方程为:

其中为GM(1,1) 模型的背景值 。​

2.构建数据矩阵 B 及数据向量 Y ，分别为:

则灰色微分方程的最小二乘估计参数列满足:

其中,a 主要控制系统发展态势,被称为发展系数; b 的大小反映数据变化的关系,被称为灰色作用量。​

3.建立模型并求解生成值与还原值。 依据公式求解, 可得到预测模型:

经过累减,得到还原预测值。