一、什么是原码、反码和补码
我们知道,在计算机内部存储的带符号数都是以补码形式存储,用补码形式进行运算的。什么是一个数的补码?为什么要用补码?这要从数的原码、反码开始讲。我们以整型数为例,且假定字长为8位。
1、原码
整数X的原码是指:其符号位为0表示正,为1表示负;其数值部分就是X的绝对值的二进制数。X的原码通常用【X】原表示。如:
【+100】原=01100100 【+0】原=00000000
【-100】原=11100100 【-0】原=10000000
注意:在原码中,零有两种表示形式。
原码表示法简单易懂,与真值(带符号数本身)转换方便,只要符号还原即可,但当两个正数相减或不同符号数相加时,必须比较两个数哪个绝对值大,才能决定谁减谁,才能确定结果是正还是负,所以原码不便于加减运算。
2、反码
X的反码是指:对于正数,反码与原码相同;对于负数,符号位不变,其数值位X的绝对值取反(1变0,0变1)。X的反码通常用【X】反来表示。如
【+100】反=01100100 【+0】反=00000000
【-100】反=10011011【-0】反=11111111
注意:在反码中,零也有两种表示形式。
反码运算也不方便,通常用来作为求补码的中间过渡。
3、补码
X的补码是指:对于正数,补码与原码相同;对于负数,符号位不变,其数值位X的绝对值取反后在最低位加1。X的补码通常用【X】补来表示,实际上,【X】补=【X】反+1。如:
【+100】补=01100100 【+0】补=00000000
【-100】补=10011100 【-0】补=00000000
注意:在补码中,零有唯一的编码,【+0】补=【-0】补=00000000。
补码运算简单方便,符号位可以作为数据的一位参与运算,不必单独处理;二进制的减法可用其补码的加法来实现,简化了硬件电路。
二、补码的意义
首先,我们来看几个例子。
【例子1】用8位二进制数分别表示+0和-0 。
解:我们知道,对于有符号数,我们规定最高位为符号位,0表示正数,1表示负数。剩余位为数值位,用来表示数的大小。
所以+0就表示为0000 0000,而-0表示为1000 0000。
【例子2】计算9-6的结果。
解:我们知道:9-6=9+(-6)=3
0000 1001
+1000 0110
1000 1111
结果为-15,明显不对。
而如果我们采用补码来进行计算呢?
我们知道,9的补码是0000 1001,-6的补码是11111010,重新进行运算,
0000 1001
+1111 1010
1 0000 0011
最高位的1溢出,剩余8位二进制表示的是3的补码。结果为3,正确。
【例子3】分析程序运行结果。
main()
{int a=100,b=-1;
Printf(“a=%d,%x,%o,%u\n”,a,a,a,a);
Printf(“b=%d,%x,%o,%u\n”,b,b,b,b);}
运行结果:
a=100,64,144,100
b=-1,ffff,177777,65535
【例子1】中,为什么同样一个0有两种不同的表示方法呢?
【例子2】中,为什么第一种计算方法会错,而用补码计算结果才对呢?
而【例子3】中,为什么-1以十六进制、八进制以及无符号整型输出的结果分别变成了ffff,177777,65535?
这是因为在计算机系统中,数值一律用补码来表示(存储)。
主要原因:
1、统一了零的编码;
2、将符号位和其它数值位统一处理;
3、将减法运算转变为加法运算;
4、两个用补码表示的数相加时,如果最高位(符号位)有进位,则进位被舍弃。
三、补码的计算
1、定义法:
(1)正数的补码:与原码相同。
【例1】+9的补码是00001001。
(2)负数的补码:符号位为1,其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。
【例2】求-9的补码。
因为给定数是负数,则符号位为“1”。
后七位:+9的原码(0001001)→按位取反(1110110)→加1(1110111)
所以-7的补码是11110111。
2、查零法
原码是用1来表示数值的大小,属于正逻辑,对原码的计算我们主要是计算1的个数;而反码和补码是用0来表示数值的大小,属于负逻辑,所以我们可以采取 逆向逻辑思维来理解,通过计算0的个数来求负数的补码。由于补码是在反码的基础上加了一个1,所以0的个数应该比原数的绝对值小1。
例如:求-5的补码
零的个数应为4个,所以-5的补码为:11111011。
再如:求-97的补码
零的个数应为96个,96=64+32,对应的权值位为0,其余位为1。所以-97的补码为:10011111。
3、零减法
负数的补码=全零-正数的原码,如-5的补码=0-5的原码。
用该数的十六进制计算,得到的结果转换为二进制即可。
例如:求-5的补码
算法1:算法2:
00000000 00H
﹣00000101 ﹣05H
11111011 0 FBH
4、找1法
例如:求-15的补码
第一步:+15:00001111
第二步:从右向左找到第一个1,然后把左边的所有位取反。
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11110001
再举一个例子验证下:求-64的补码
+64:01000000
11000000
四、几点补充
1、已知一个数的补码,求原码的操作分两种情况:
(1)如果补码的符号位为“0”,表示是一个正数,其原码就是补码。
(2)如果补码的符号位为“1”,表示是一个负数,那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。
【例3】已知一个补码为11111001,则原码是10000111(-7)。
因为符号位为“1”,表示是一个负数,所以该位不变,仍为“1”。
其余七位1111001取反后为0000110;
再加1,所以是10000111。
2、数值范围
8位二进制原码所表示数的范围是-127~+127;
五、总结：
1、原码表示法
除了符号位外，其他二进制位为数值的绝对值，这种方案称为“原码”表示法。例如：
+20的原码：0 000 0000 0001 0100
-20的原码： 1 000 0000 0001 0100
2、反码表示法
除了符号为以外，负数的反码表示是在原码的基础上其他二进制取反，而正数的反码表示与原码相同。如：
+20的反码为： 0 000 0000 0001 0100
-20的反码为： 1 111 1111 1110 1011
3、补码表示法
负数的补码表示是在反码基础上加1，而正数的反码表示与原码相同。
4、为什么计算机一般采用补码表示法
原码、反码和补码是由于表示负数的三种方案，三种方案中，原码最适合与乘除类运算，补码适合于加减类运算，而反码则加减与乘除都不是很理想，由于加减运算的频率远高于乘除运算，所以多数计算机系统采用的是补码方案。所以所有计算机的加减运算都要将相应的数转换成补码，然后再进行运算。
