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第三十二章：二叉树的存储与遍历

2022-08-02 14:10:00 【WANGHAOXIN364】

前置知识：二叉树的概念与性质
为了保证学习效果，请保证已经掌握前置知识之后，再来学习本章节！

学习目标

熟练掌握二叉树的存储方式
理解二叉树的三种遍历方式的实现过程
给出一棵二叉树，能够写出对应的三种遍历序列，给出任意两种遍历序列，能够推导并还原出二叉树并写出另外一种遍历序列
掌握三种遍历方式的代码实现，掌握给出两种遍历方式的序列，求第三种遍历序列的代码实现

二叉树的存储

二叉树的存储和普通树基本一致。只是由于二叉树中的结点最多只有两个子节点，所以在存储子节点时有区别。

数组存储

Type val[N];             // 存当前结点的信息
int fa[N];               //  存父结点信息
int left[N], right[N];   //  left[i],right[i]: 结点 i 的左孩子和右孩子编号

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结构体存储

struct node{
    Type val;
    int fa;
    int left, right;
} tree[N];

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顺序存储

注意：顺序存储最适用于存储完全二叉树！

顺序存储采用数组下标去保存二叉树的结构，采用完全二叉树的编号方式存储二叉树。

根据二叉树的性质 5，可以快速定位结点 ii 的父结点（ \lfloor i/2 \rfloor⌊i/2⌋），左孩子（2x2x），右孩子为（2x+12x+1）。

优点：存储方便，查找父结点、子节点方便

缺点： 除了完全二叉树之外，使用顺序存储会极大浪费空间

二叉树的遍历

树的遍历是指 从根节点出发，按照 某种次序 依次访问树中的所有结点，使得 每个结点都被访问仅被访问一次。

层次遍历

即广度优先遍历，遍历规则为：

若二叉树为空，则停止遍历并返回。
如果树不为空，则从根节点开始访问，从上而下逐层访问，在同一层中，按照左孩子、右孩子的顺序对节点逐个访问。

示例代码：

const int N  = 10005;
char val[N];             // 存当前结点的信息
int left[N], right[N];   //  left[i],right[i]: 结点 i 的左孩子和右孩子编号
void bfs(int root)
{
    queue<int> q;
    q.push(root);
    while(!q.empty())
    {
        int k = q.front(); q.pop();
        cout << k << ' ';
        if(left[k]) q.push(left[k]);
        if(right[k]) q.push(right[k]);
    }
}

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先序遍历

又称先根遍历、前序遍历。对于一棵非空的树，是指这样的一种遍历顺序：

访问根节点；
如果左子树不是空的，那么按照先序遍历的顺序遍历左子树；
如果右子树不是空的，那么按照先序遍历的顺序遍历右子树；

先序遍历可以总结成三个字： 根左右。容易看出，这种遍历方式的定义是一种递归定义的方式。因此，在代码实现上，先序遍历也是采用递归来实现的。示例代码如下：

// 结构体存树
struct node{
    char val;
    int left, right;
} t[N];

void visit(int node)
{
    cout << t[root].val;    // 输出当前结点——子树的根结点
}

void pre_order(int root)
{
    visit(root);                  // 访问根节点
    if(t[root].left)
        pre_order(t[root].left);  // 左子树不空，遍历左子树
    if(t[root].right)
        pre_order(t[root].right); // 右子树不空，遍历右子树
}

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中序遍历

又称中根遍历。对于一棵非空的树，是指这样的一种遍历顺序：

如果根节点的左子树不是空的，那么按照中序遍历的顺序遍历左子树；
访问根节点；
如果根节点的右子树不是空的，那么按照中序遍历的顺序遍历右子树；

中序遍历可以总结成三个字： 左根右。容易看出，它和先序遍历一样都是递归定义，且只是遍历的顺序不同。示例代码如下：

// 结构体存树
struct node{
    char val;
    int left, right;
} t[N];

void visit(int node)
{
    cout << t[root].val;    // 输出当前结点——子树的根结点
}

void in_order(int root)
{
    if(t[root].left)
        in_order(t[root].left);  // 左子树不空，遍历左子树
    visit(root);                  // 访问根节点
    if(t[root].right)
        in_order(t[root].right); // 右子树不空，遍历右子树
}

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后序遍历

又称后根遍历。对于一棵非空的树，是指这样的一种遍历顺序：

如果根节点的左子树不是空的，那么按照后序遍历的顺序遍历左子树；
如果根节点的右子树不是空的，那么按照后序遍历的顺序遍历右子树；
访问根节点；

后序遍历可以总结成三个字： 左右根。容易看出，它和先序遍历一样都是递归定义，且只是遍历的顺序不同。示例代码如下：

// 结构体存树
struct node{
    char val;
    int left, right;
} t[N];

void visit(int node)
{
    cout << t[root].val;    // 输出当前结点——子树的根结点
}

void in_order(int root)
{
    if(t[root].left)
        in_order(t[root].left);  // 左子树不空，遍历左子树
    if(t[root].right)
        in_order(t[root].right); // 右子树不空，遍历右子树
    visit(root);                  // 访问根节点
}

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