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假设检验——《概率论与数理统计》第八章学习笔记
2022-07-05 04:17:00 【物联黄同学】
假设检验——《概率论与数理统计》第八章学习笔记
文章目录
前言
感谢台风暹芭,让我回不去宿舍,被迫在实验室过夜,思来想去,睡不着,恰逢期末考临近,决定写一篇的第八章的学习笔记。
和之前的系列一样,教材不变。内容上,选取第八章的前三节,即假设检验,正态均值,正态方差三个部分的知识点,为什么没有其他内容,因为这次考试大概不会考。
形式上,相比前面的章节写了很多课本的定义,这次我会有更多的个人理解,尽可能直击考点。
MindMap
假设检验
这一节其实就是告诉你假设检验的一些定义,以及对假设检验这一问题的解决过程与步骤。
一些定义
显著性水平
我们用来对检验做衡量的标准,一般在式子中以 α
出现。
检验统计量
Z = X ‾ − μ 0 σ / n Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} Z=σ/nX−μ0
原假设 与 备择假设
我们将检验问题叙述成:在显著性水平α下,检验假设:
H 0 : μ = μ 0 , H 1 : μ ≠ μ 0 H_0:\mu =\mu_0, \qquad H_1 : \mu \neq \mu_0 H0:μ=μ0,H1:μ=μ0
H0 为 原假设
, H1 为 备择假设
。
拒绝域
就是在某个区域上取值作为 检验统计量的值时,拒绝 原假设,或者说接受备择假设,这个区域就是拒绝域,而拒绝域的边界点其实就叫 临界点
。
显著性检验
因为检验的依据是样本,所以检验势必会有犯错的可能,这里主要有两种错误:
- H0为真,但是拒绝。
- H1为真,但是接受原假设。
我们显然希望犯这两种错误的概率都小,但是在数理统计中,如果样本容量限定了,则减小犯一类错误的概率减小的同时,另一类的概率往往增大。所以在数理统计中,采取的是对第一类控制,不考虑
第二类。这种检验就是 假设性检验。
双边检验与单边检验
这里其实就是我们在做假设的时候,对于H1,μ可能大于μ0,有可能小于μ0,如果是两种都可能,那就是 双边假设
, 而如果只是其中一种可能,那就是 单边假设
,根据方向又可以分为 左边检验 和 右边检验。对于方向,我的个人理解是看 拒绝域或者备择假设的方向。
个人理解的解题步骤
通过阅读与理解课本的例题,发现了假设检验问题的求解过程:
- 先根据题目确定检验假设。
- 根据参数确定检验统计量。
- 然后根据假设和检验统计量判断是那种假设,然后确定拒绝域。
- 取样,其实就是根据样本观察值判断是否接受原假设。
本篇中所有的总体都是正态总体,针对它的两个参数,均值μ和方差σ^2,有以下两种假设检验。
正态总体均值的假设检验
单个总体
这里根据方差是否已知,又可以分为 Z检验
和 t检验
。
方差已知,Z检验
其实很简单,我们根据假设然后接下来需要检验样本均值是否符合假设,在显著性水平α以及其他参数下,检验统计量为:
Z = X ‾ − μ 0 σ / n Z ∼ N ( μ , σ 2 ) Z = \frac{\overline{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt n} \\ Z \sim N(\mu, \sigma^2) Z=σ/nX−μ0Z∼N(μ,σ2)
接下来只需根据是单边假设还是双边假设来求解就可以了。
双边就取α/2,检验统计量的绝对值高于 显著性水平下对应的 正态函数值就拒绝原假设。
方差未知,t检验
这里其实就是 用了样本方差s
来近似替换 总体方差σ,当然这里需要用到t分布。
X ‾ − μ 0 S / n ∼ t ( n − 1 ) \frac{\overline{X} - \mu_0}{S/\sqrt n} \sim t(n-1) S/nX−μ0∼t(n−1)
两个总体——t检验
我们对两个独立的正态总体
N ( μ 1 , σ 2 ) , N ( μ 2 , σ 2 ) N(\mu_1, \sigma^2), N(\mu_2, \sigma^2) N(μ1,σ2),N(μ2,σ2)
方差相同,均值不同,所以可以剔除检验假设:
H 0 : μ 1 − μ 2 = δ , H 1 : μ 1 − μ 2 ≠ δ H_0: \mu_1 - \mu_2 = \delta, \quad H_1:\mu_1 - \mu_2 \neq \delta H0:μ1−μ2=δ,H1:μ1−μ2=δ
所以给出检验统计量:
t = ( X ‾ − Y ‾ ) − δ S w 1 n 1 + 1 n 2 S w 2 = ( n 1 − 1 ) S 1 2 + ( n 2 − 1 ) S 2 2 n 1 n 2 − 2 t= \frac{(\overline{X} - \overline{Y})- \delta}{S_w\sqrt{\frac1{n_1} + \frac 1{n_2}}} \\ S_w^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S^2_2}{n_1 n_2 - 2} t=Swn11+n21(X−Y)−δSw2=n1n2−2(n1−1)S12+(n2−1)S22
成对数据的检验——t检验
其实这里就是将两组数据对比求差异,然后做检验,我们一般是直接将数据相减后作为一个新的正态总体样本,接下来其实就是单个总体下的情况了。
正态总体方差的假设检验
单个总体
在均值中,我们用到的是Z和t检验,说白了就是用到正态分布
和 t分布
, 但是在求方差的假设检验的时候,其实用到的是
( n − 1 ) S 2 σ 0 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n - 1) σ02(n−1)S2∼χ2(n−1)
两个总体
用到的是F分布
S 1 2 / S 2 2 σ 1 2 / σ 2 2 ∼ F ( n 1 − 1 , n 2 − 1 ) \frac{S_1^2/ S_2^2}{\sigma_1^2/ \sigma_2^2} \sim F(n_1-1, n_2 -1) σ12/σ22S12/S22∼F(n1−1,n2−1)
正态总体的检验法表
后话
天亮了,回去睡觉了,这一章结合教材阅读会更好一点。
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