堆排序【手写小根堆】

一、什么是堆呢？

堆是一个高效的优先级队列，我们可以把堆看做一棵完全二叉树的数组。
性质：

• 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
• 堆总是一棵完全二叉树

根结点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根结点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

算法思想及操作（小根堆为例）：

将要排序的所有值放到一棵完全二叉树的各个结点中，这时候的二叉树不用具备堆的性质，利用up或者down操作来调整堆。

在堆的创建过程中，我们需要加入两个操作：

• 向上调整法（up）【建堆】
  从最后一个节点开始调整，跟它的父节点比较，如果比父节点小，则不符合小根堆的性质，因此需要交换，否则不需要交换。
  调成完一个节点后，把该节点的父节点看做当前结点，继续做调整。
  以此类推，即可调整成堆。
• 向下调整法（down）
  设父节点为fa，左儿子为l，右儿子为r。
  从最后一个非叶子节点（即第n/2个节点）开始，用fa分别与l和r作比较，最小的儿子做交换，如果fa已经是最小的，则不需要交换。
  同向上调整法一样，调整完之后，从最小的儿子当做fa，继续做向下调整法。

为什么是从最后一个非叶子节点开始down呢？

图中的值是节点编号，一共有9个节点，那么n=9，所以从n/2开始调整就是从第四个节点开始调整（红色节点）。
这是为什么呢？
因为我们执行的是down操作，那么为了调整到所有的点，必然要调整到最后一个叶子结点。恰巧最后一个叶子结点的父节点就是第n/2个节点，从n/2个节点开始down，肯定会调整到所有的点。

下面来看一下模拟过程：

初始状态图

现在就建好了一个小根堆（注意小根堆和大根堆不唯一，满足性质即可）

下面利用堆来排序：

题目：堆排序

输入一个长度为 $n$ 的整数数列，从小到大输出前 $m$ 小的数。

输入格式
第一行包含整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 n 个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含 $m$ 个整数，表示整数数列中前 m 小的数。

数据范围
$1\le m\le n\le 105$，
$1\le 数列中元素\le 109$
输入样例：

5 3
4 5 1 3 2

输出样例：

1 2 3

题目思路：

此题要输出用堆排序后的前k个数，因为堆并不能保证从左到右、从上到下的顺序是依次递增的，比如下图中第三个数为5，实际上第三个数应该为4，所以我们不能建好堆之后直接输出前k个数字。
所以可以利用删除节点（并不是真正意义上的删除）来实现堆排序，删除哪个结点是比较合适的呢，显然不可能是前面和中间的节点，因为在堆中删除前面一个节点是非常麻烦的，但是删除最后一个节点是很容易的。那么删除最后一个节点可不可以呢？答案是可以的，因为堆顶元素保证是最小的一个，所以每次输出了堆顶元素后可以把堆顶元素和最后一个元素交换，此时最小的元素成为了最后一个元素，可以把他删除掉（已经用不到了），然后从堆顶元素开始down操作，因此我们可以发现依然可以维护堆的性质，所以可以利用删除最后一个节点来实现堆的排序。

堆的存储：
为了方便存储以及实现，堆通常可以利用数组来模拟。
fa：父节点，l：左二子，r：右儿子
设$fa=x$，则$l=2\ast x$，$r=2\ast x+1$

AC代码（C++）：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int N=1e5+10;
int q[N],numbers,n,m;

void down(int x){
    
    int t=x;
    if(x*2<=numbers && q[x*2]<q[t]) t=x*2;
    if(x*2+1<=numbers && q[x*2+1]<q[t]) t=x*2+1;
    if(t!=x){
    
        swap(q[t],q[x]);
        down(t);
    }
}

int main(){
    
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&q[i]);
    numbers=n;  //删除一个节点后剩余节点的个数
    for(int i=n/2;i;i--) down(i);
    while(m--){
    
        printf("%d ",q[1]);
        q[1]=q[numbers];
        numbers--;
        down(1);
    }
    return 0;
}