Graph Pooling 简析

Pooling 是一种用于图表征提取的技术，通常用在图分类上面。

一些记号

我们记一个带有 $N$ 个节点的属性图 (attributed graph) 为 $\mathcal{G}=(\mathcal{X},\mathcal{E})$

其中 $\mathcal{X}=\{(i,x_i){\}}_{i=1:N}$ 是节点集，$x_i$ 是第 $i$ 个节点的属性向量

$\mathcal{E}=\{((i,j),e_{ij}){\}}_{i,j\in 1:N}$ 是边集，其中 $e_{ij}$ 是边的属性向量

我们记这个图的邻接矩阵为 $A\in \{0,1{\}}^{N\times N}$

借助论文“Understanding Pooling in Graph Neural Networks” 我们使用其中的 SRC 来对Pooling方法进行总结。

Select, Reduce, Connect

对于Pooling，我们可以理解成一个图到图的映射，即：$\mathcal{G}\to {\mathcal{G}}^{\prime }=({\mathcal{X}}^{\prime },{\mathcal{E}}^{\prime })$

如上图所示，Select函数会将节点划分成多个节点簇，这些节点簇可以被认为是一个超节点

Reduce函数会将一个超节点（可能包含一个或多个节点）映射到一个属性向量，该属性向量对应Pooling后图的超节点

Connect函数会计算出超节点的边集

在Pooling操作之后，我们将一个N节点的图映射到一个K节点的图

按照这种方法，我们可以给出一个表格，将目前的一些Pooling方法，利用SRC的方式进行总结

这里以 DiffPool 为例，说明一下SRC三个部分：

首先，假设我们有一个N个节点的图，其中节点向量记作 $X\in {\mathbb{R}}^{N\times d}$，每个节点向量的维度是 $d$

Select函数会输出一个 $N\times N^{\prime }(N<N^{\prime })$ 的映射矩阵$S$, 也就是将$N$个点映射成$N’$个点

这里面使用了一个GNN来对矩阵$S$ 进行学习

Reduce函数为映射矩阵S乘上一个GNN之后的矩阵，也就是$N^{\prime }\times N$ 的矩阵乘上 $N\times d^{\prime }$

输出为 $N^{\prime }\times d$ 的一个向量矩阵，代表Pooling一次之后的这些超节点的节点向量

Connect函数输出邻接矩阵$A^{\prime }\in \{0,1{\}}^{N^{\prime }\times N^{\prime }}$