最短Hamilton路径 (状压DP)

题目

给定一张 $n$ 个点的带权无向图，点从 $0\sim n-1$ 标号，求起点 $0$ 到终点 $n-1$ 的最短 $Hamilton$ 路径。

$Hamilton$ 路径的定义是从 $0$ 到 $n-1$ 不重不漏地经过每个点恰好一次。

输入格式
第一行输入整数 $n$。

接下来 n 行每行 $n$ 个整数，其中第 $i$ 行第 $j$ 个整数表示点 $i$ 到 $j$ 的距离（记为 $a[i,j]$）。

对于任意的 $x,y,z$，数据保证 $a[x,x]=0$，$a[x,y]=a[y,x]$ 并且 $a[x,y]+a[y,z]\ge a[x,z]$。

输出格式
输出一个整数，表示最短 Hamilton 路径的长度。

数据范围
$1\le n\le 20$
$0\le a[i,j]\le 10^7$
输入样例：

5
0 2 4 5 1
2 0 6 5 3
4 6 0 8 3
5 5 8 0 5

1 3 3 5 0
输出样例：

18

状压DP

$f[i][j]:f[i][j]表示从0走到j,走过的所有点是i的所有路径$

1.根据上面状态的含义,我们就会很好想了

2.既然每个f[i][j]表示的是从0走到j,走到的所有点是i的路径,集合划分该怎么划分呢?

3.依据找每个方案的最后一个不同点,我们可以发现每个点是可以由其他点走过来的

4.如果我们从某一个点k走到点j,那么我们当前状态是不包含j的,因为还没有走到j

5.根据4可以得出f[i][j]可以由f[i-(j)][k]+g[j][k]。说明 (j):j这个点的二进制表示,g[j][k]:j走到k的距离

6.根据状态定义:初始化f为负无穷——————————f[1][0]=0:(0走到自己的距离肯定为0)

7.最后答案为走到n-1号点,并且所有点都走过：f[(1<<n)-1][n-1]

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AC代码（C++）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N=20,M=1<<N;

int f[M][N];   //f[i][j]表示从0走到j,走过的所有点是i的所有路径 例:i=110011(0代表没有走过,1代表走过,并且最右边的是0这个点)
int n;
int w[N][N];  //w[i][j]表示i到j这个点的距离

int main(){
    
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++){
    
        for(int j=0;j<n;j++){
    
            scanf("%d",&w[i][j]);
        }
    }

    memset(f,0x3f,sizeof f);   //因为要求最短路径,初始化为正无穷
    f[1][0]=0;  //第一个点是不需要费用的

    for(int i=0;i<1<<n;i++){
      //枚举点的所有状态
        for(int j=0;j<n;j++){
       //枚举点的个数
            if(i>>j&1){
      //i>>j:求i的第j位数字. 如果&1成立,则代表j这个点已经走过
                for(int k=0;k<n;k++){
      //k->j
                    if(i>>k&1 && j!=k){
       //跟上边的判断一样, 表示k这个点走过并且不是自己
                        f[i][j]=min(f[i][j],f[i-(1<<j)][k]+w[k][j]);  //判断本方案最优还是从i->k,再从k->j最优
                    }
                }
            }
        }
    }
    printf("%d",f[(1<<n)-1][n-1]);  //最优解
    return 0;
}