《統計學》第八版賈俊平第七章知識點總結及課後習題答案

一.考點歸納

參數估計的基本原理

1置信區間
（1）置信水平為95%的置信區間的含義：用某種方法構造的所有區間中有95%的區間包含總體參數的真值。（2）置信度愈高（即估計的可靠性愈高），則置信區間相應也愈寬（即估計准確性愈低）。
（3）置信區間的特點：置信區間受樣本影響，具有隨機性，總體參數的真值是固定的。一個特定的置信區間“總是包含”或“絕對不包含”參數的真值，不存在“以多大的概率包含總體參數”的問題。

2評價估計量的標准
（1）無偏性：估計量抽樣分布的期望值等於被估計的總體參數，即E（θ）＝θ。
（2）有效性：估計量的方差盡可能小。
（3）一致性：隨著樣本量的增大，估計量的值越來越接近被估計總體的參數。

一個總體參數的區間估計

二、課後習題及答案

1利用下面的信息，構建總體均值的置信區間。
（1）總體服從正態分布，且已知σ＝500，n＝15，x＝8900，置信水平為95%。
（2）總體不服從正態分布，且已知σ＝500，n＝35，x＝8900，置信水平為95%。
（3）總體不服從正態分布，σ未知，n＝35，x＝8900，s＝500，置信水平為90%。
（4）總體不服從正態分布，σ未知，n＝35，x＝8900，s＝500，置信水平為99%。

解：（1）由於總體服從正態分布，σ＝500，n＝15，x＝8900，α＝0.05，z0.05/2＝1.96。所以總體均值μ的95%的置信區間為：

即（8646.97，9153.03）。
（2）已知總體不服從正態分布，但n＝35為大樣本，因此采用z統計量，總體均值μ的95%的置信區間為：

即（8734.35，9065.65）。
（3）已知總體不服從正態分布，σ未知，但由於n＝35為大樣本，因此可以采用z統計量，總體均值μ的90%的置信區間為：

即（8760.97，9039.03）。
（4）已知總體不服從正態分布，σ未知，但由於n＝35為大樣本，因此可以采用z統計量，總體均值μ的99%的置信區間為：

即（8681.95，9118.05）。

2某大學為了解學生每天上網的時間，在全校7500名學生中采取重複抽樣方法隨機抽取36人，調查他們每天上網的時間，得到錶7-3的數據（單比特：小時）。

求該校大學生平均上網時間的置信區間，置信水平分別為90%，95%和99%。

解：已知：n＝36，當α為0.1，0.05，0.01時，相應的z值分別為：z0.1/2＝1.645，z0.05/2＝1.96，z0.01/2＝2.58
根據樣本數據計算得：

（1）由於n＝36為大樣本，所以平均上網時間的90%的置信區間為：

即（2.88，3.76）。
（2）平均上網時間的95%的置信區間為：

即（2.79，3.85）。
（3）平均上網時間的99%的置信區間為：

即（2.63，4.01）。

3某企業生產的袋裝食品采用自動打包機包裝，每袋標准重量為100g，現從某天生產的一批產品中按重複抽樣隨機抽取50包進行檢查，測得每包重量如錶所示。

已知食品包重量從正態分布，要求：
（1）確定該種食品平均重量的95%的置信區間。
（2）如果規定食品重量低於100g屬於不合格，確定該批食品合格率的95%的置信區間。

解：（1）已知：總體服從正態分布，但σ未知，n＝50為大樣本，α＝0.05，z0.05/2＝1.96。根據分組的樣本數據計算得：x＝（97×2＋99×3＋…＋105×4）/50＝101.32

該種食品平均重量的95%的置信區間為：

即（100.87，101.77）。
（2）根據樣本數據可知，樣本合格率為p＝45/50＝0.9。該種食品合格率的95%的置信區間為：

即（0.82，0.98）。

4假設總體服從正態分布，利用錶7-5的數據構建總體均值μ的99%的置信區間。

解：已知：總體服從正態分布，但σ未知，n＝25為小樣本，α＝0.01，t0.01/2（25－1）＝2.797。根據樣本數據計算得：x＝16.128，s＝0.871。則總體均值μ的99%的置信區間為：

即（15.64，16.62）。

5利用下面的樣本數據構建總體比例π的置信區間。
（1）n＝44，p＝0.51，置信水平為99%。
（2）n＝300，p＝0.82，置信水平為95%。
（3）n＝1150，p＝0.48，置信水平為90%。

解：（1）已知：n＝44，p＝0.51，α＝0.01，z0.01/2＝2.58。總體比例π的99%的置信區間為：

即（0.32，0.70）。
（2）已知：n＝300，p＝0.82，α＝0.05，z0.05/2＝1.96。總體比例π的95%的置信區間為：

即（0.78，0.86）。
（3）已知：n＝1150，p＝0.48，α＝0.1，z0.1/2＝1.645。總體比例π的90%的置信區間為：

即（0.46，0.50）。

6在一項家電市場調查中，隨機抽取了200個居民戶，調查他們是否擁有某一品牌的電視機。其中擁有該品牌電視機的家庭占23%。求總體比例的置信區間，置信水平分別為90%和95%。解：已知：n＝200，p＝0.23，α為0.1和0.05時，相應的z0.1/2＝1.645，z0.05/2＝1.96。
（1）總體比例π的90%的置信區間為：

即（0.18，0.28）。
（2）總體比例π的95%的置信區間為：

即（0.17，0.29）。

7一比特銀行的管理人員想估計每比特顧客在該銀行的月平均存款額。他假設所有顧客月存款額的標准差為1000元，要求的估計誤差在200元以內。置信水平為99%，應選取多大的樣本？解：已知：σ＝1000，估計誤差E＝200，α＝0.01，z0.01/2＝2.58。所以應抽取的樣本量為：

所以應抽取167個樣本。

8某居民小區共有居民500戶，小區管理者准備采用一種新的供水設施，想了解居民是否贊成。采取重複抽樣方法隨機抽取了50戶，其中有32戶贊成，18戶反對。
（1）求總體中贊成該項改革的戶數比例的置信區間（α＝0.05）。
（2）如果小區管理者預計贊成的比例能達到80%，估計誤差不超過10%。應抽取多少戶進行調查（α＝0.05）？

解：（1）已知：n＝50，p＝32/50＝0.64，α＝0.05，z0.05/2＝1.96。總體中贊成該項改革的戶數比例的95%的置信區間為：

即（0.51，0.77）。
（2）已知：π＝0.80，α＝0.05，z0.05/2＝1.96。應抽取的樣本量為：

即應抽取的樣本量為62戶。

9根據下面的樣本結果，計算總體標准差σ的90%的置信區間。
（1）x＝21，s＝2，n＝50。
（2）x＝1.3，s＝0.02，n＝15。
（3）x＝167，s＝31，n＝22。

解：（1）已知：x＝21，s＝2，n＝50，α＝0.1，查錶得：χ20.1/2（50－1）＝66.3387，χ21－0.1/2（50－1）＝33.9303。總體方差σ2的置信區間為：

即2.95≤σ2≤5.78。標准差的置信區間為：1.72≤σ≤2.40。

（2）已知：x＝1.3，s＝0.02，n＝15，α＝0.1，查錶得：χ20.1/2（15－1）＝23.6848，χ21－0.1/2（15－1）＝6.5706。總體方差σ2的置信區間為：

標准差的置信區間為：0.015≤σ≤0.029。
（3）已知：x＝167，s＝31，n＝22，α＝0.1，查錶得：χ20.1/2（22－1）＝32.6706，χ21－0.1/2（22－1）＝11.5913。總體方差σ2的置信區間為：

標准差的置信區間為：24.85≤σ≤41.73。

10顧客到銀行辦理業務時往往需要等待一段時間，而等待時間的長短與許多因素有關。比如，銀行業務員辦理業務的速度，顧客等待排隊的方式等。為此，某銀行准備采取兩種排隊方式進行試驗，第一種排隊方式是：所有顧客都進入一個等待隊列；第二種排隊方式是：顧客在三個業務窗口處列隊三排等待。為比較哪種排隊方式使顧客等待的時間更短，銀行各隨機抽取10名顧客，他們在辦理業務時所等待的時間（單比特：分鐘），如錶所示。

要求：
（1）構建第一種排隊方式等待時間標准差的95%的置信區間。
（2）構建第二種排隊方式等待時間標准差的95%的置信區間。
（3）根據（1）和（2）的結果，你認為哪種排隊方式更好？

解：（1）已知：n＝10，α＝0.05，查錶得χ0.05/22（10－1）＝19.0228，χ1－0.05/22（10－1）＝2.7004。根據方式1的樣本數據計算得：s2＝0.2272。總體方差σ2的置信區間為：

標准差的置信區間為：0.33≤σ≤0.87。
（2）根據方式2的樣本數據計算得：s2＝3.3183。總體方差σ2的置信區間為：

標准差的置信區間為：1.25≤σ≤3.33。
（3）第一種排隊方式更好，因為它的離散程度小於第二種排隊方式。

11從兩個正態總體中分別抽取兩個獨立的隨機樣本，它們的均值和標准差如錶所示。

（1）設n1＝n2＝100，求（μ1－μ2）95%的置信區間。
（2）設n1＝n2＝10，σ12＝σ22，求（μ1－μ2）95%的置信區間。

（3）設n1＝n2＝10，σ12≠σ22，求（μ1－μ2）95%的置信區間。
（4）設n1＝10，n2＝20，σ12＝σ22，求（μ1－μ2）95%的置信區間。
（5）設n1＝10，n2＝20，σ12≠σ22，求（μ1－μ2）95%的置信區間。

解：（1）由於兩個樣本均為獨立大樣本，σ12和σ22未知。當α＝0.05時，z0.05/2＝1.96，則μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（0.824，3.176）。
（2）由於兩個樣本均為來自正態總體的獨立小樣本，當σ12和σ22未知但σ12＝σ22時，需要用兩個樣本的方差s12和s22和來估計。總體方差的合並估計量sp2為：

當α＝0.05時，t0.05/2（10＋10－2）＝2.101，則μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（－1.986，5.986）。
（3）由於兩個樣本均為來自正態總體的獨立小樣本，σ12和σ22未知且σ12≠σ22，n1＝n2＝n。當α＝0.05時，t0.05/2（10＋10－2）＝2.101，則μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（－1.986，5.986）。
（4）由於兩個樣本均為來自正態總體的獨立小樣本，σ12和σ22未知但σ12＝σ22，n1≠n2。需要用兩個樣本的方差s12和s22來估計。總體方差的合並估計量sp2為：

當α＝0.05時，t0.05/2（10＋20－2）＝2.048。因此，μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（－1.431，5.431）。

（5）由於兩個樣本均為來自正態總體的獨立小樣本，σ12和σ22未知且σ12≠σ22，n1≠n2。因此，μ1－μ2的95%的置信區間為：

自由度的計算如下：

當α＝0.05時，t0.05/2（20）＝2.086。μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（—1.364，5.364）。

12錶7-8是由4對觀察值組成的隨機樣本。

（1）計算A與B各對觀察值之差，再利用得出的差值計算d和sd。
（2）設μ1和μ2分別為總體A和總體B的均值，構造μd＝μ1－μ2的95%的置信區間。

解：（1）計算過程如錶7-9所示。

 d＝7/4＝1.75

（2）當α＝0.05時，t0.05/2（4－1）＝3.182。兩個樣本之差μd＝μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（－2.43，5.93）。

13一家人才測評機構對隨機抽取的10名小企業的經理人用兩種方法進行自信心測試，得到的自信心測試分數如錶7-10所示。

要求：構建兩種方法平均自信心得分之差μd＝μ1－μ2的95%的置信區間。

解：根據樣本數據計算得：d＝[（78－71）＋（63－44）＋…＋（55－39）]/10＝110/10＝11

當α＝0.05時，t0.05/2（10－1）＝2.262。兩種方法平均自信心得分之差μd＝μ1－μ2的95%的置信區間為：

即（6.33，15.67）。

14從兩個總體中各抽取一個n1＝n2＝250的獨立隨機樣本，來自總體1的樣本比例為p1＝40%，來自總體2的樣本比例為p2＝30%。要求：
（1）構造π1－π2的90%的置信區間。

（2）構造π1－π2的95%的置信區間。

解：（1）已知：n1＝n2＝250，p1＝40%，p2＝30%，α＝0.1，z0.1/2＝1.645。π1－π2的90%的置信區間為：

即（3.02%，16.98%）。
（2）α＝0.05，z0.05/2＝1.96。π1－π2的90%的置信區間為：

即（1.68%，18.32%）。

15生產工序的方差是工序質量的一個重要度量。當方差較大時，需要對工序進行改進以减小方差。錶7-11是兩部機器生產的袋茶重量（單比特：g）的數據。

要求：構造兩個總體方差比（σ12/σ22）95%的置信區間。解：根據樣本數據計算得：s12＝0.058375，s22＝0.005846。當α＝0.05時，由Exce1的“FINV”函數計算得：F0.025（21－1，21－1）＝2.46，F1－α/2（n1－1，n2－1）＝F0.975（21－1，21－1）＝0.41。兩個總體方差比σ12/σ22的95%的置信區間為：

即兩個總體方差比σ12/σ22的95%的置信區間為：4.06≤σ12/σ22≤24.35。

16根據以往的生產數據，某種產品的廢品率為2%。如果置信區間為95%，估計誤差不超過4%，應抽取多少樣本？解：已知：π＝2%，E＝4%，當α＝0.05時，z0.05/2＝1.96。應抽取的樣本量為：

故應至少抽取樣本量為48的樣本。