数字电路基础（二）逻辑代数

一、逻辑变量和逻辑函数

熟悉计算机编程语言的同学应该了解，在很多编程中存在一种布尔变量，它有且只有两个值真和假（True和False，有时也使用1和0）。布尔变量本身实际上可以算是一种逻辑变量，符合逻辑变量的特点。在给定确定的输入时，通常输出可以被唯一地确定。
我们假设有两个输入$A$和$B$，有一个输出$F$，它们之间的逻辑表达式满足$F=f(A,B)$，其中$A,B,F$被称为逻辑变量，变量$A$和$B$称为逻辑自变量，$F$被称为逻辑因变量（也称作逻辑函数）。逻辑变量通常只取0或1两个值，他可以在电路中来表示，电平的高与低，开关的断开与连接等状态。

在逻辑电路中，高低电平的定义并不只是唯一的值来确定，它们都是一定的定压范围。例如：在TTL电路中，高电平通常为2-5V，低电平通常为0-0.8V

二、基本逻辑运算和基本逻辑门

在逻辑电路中有三种基本的逻辑运算：逻辑与，逻辑或，逻辑非。而用来实现这三种逻辑运算的电路分别为与门，或门，非门。下面分别介绍这三种逻辑运算及门电路。

1.逻辑与

逻辑与是指在决定一个事件的全部条件都成立时，这个事件才会发生。如下图所示电路展示了用开关控制的电路如何实现与运算：

只有当S1和S2两个开关同时闭合时，灯泡L才会亮；若其中有任意一个开关断开，则灯泡L不会亮。
将$A$，$B$，$F$的所有状态列在一个表中，此表称为真值表，如下表所示：

从真值表可以看出与运算和算术中的乘法相似，故逻辑与也叫做逻辑乘
$$F=A\cdot B=AB$$
逻辑与有如下几种运算：
$$0\cdot 0=0，0\cdot 1=0，1\cdot 0=0，1\cdot 1=1$$
逻辑与的符号如下图所示

2.逻辑或

逻辑与是指在决定一个事件的全部条件中，只要有任意一个条件满足，事件就会发生。如下图所示的电路中展示了用开关控制的电路如何实现或运算：

当S1和S2中任何一个开关闭合时，灯L都会亮；若两个开关全部断开，则灯L不会亮。
或门的真值表如下图所示：

从真值表可以看出或运算和算术中的加法相似，故逻辑或也叫做逻辑加
$$F=A+B$$
逻辑与有如下几种运算：
$$0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1$$
逻辑与的符号如下图所示：

3.逻辑非

逻辑非是指在条件满足的情况下，事件不发生；条件不满足的情况下，事件发生。如下如所示的电路中展示了用开关控制电路如何实现非运算：

当开关S断开时，电源、电阻R和灯泡L形成通路，灯泡点亮；当开关S闭合时，灯泡L被开关S短路，灯泡不亮。
非门的真值表如下图所示：

其表达式为：
$$F=\overline{A}$$
非运算规则为：
$$\overline{0}=1，\overline{1}=0$$

4.复合逻辑运算

（1）与非运算

逻辑表达式为：$F=\overline{AB}$，它是由逻辑变量先做与运算，再做非运算得到的，逻辑符号如下图所示：

(2) 或非运算

逻辑表达式为：$F=\overline{A+B}$，它是由逻辑变量先做或运算，再做非运算得到的，逻辑符号如下图所示：

(3) 与或非运算

逻辑表达式为：$F=\overline{AB+CD}$，它是由逻辑变量先做与运算，再做或运算，最后做非运算得到的，逻辑符号如下图所示：

(4)异或运算

逻辑表达式为：$F=A\overline{B}+\overline{A}B=A\oplus B$. 异或运算规则是：当输入的两个逻辑变量相同时，则输出为0；当输入的两个逻辑变量不同时，则输出为1。逻辑符号如下图所示：

(5)同或运算

逻辑表达式为：$F=AB+\overline{AB}=A\odot B$. 同或运算规则是：当输入的两个逻辑变量相同时，则输出为1；当输入的两个逻辑变量不同时，则输出为0。逻辑符号如下图所示：

三、逻辑代数基本公式和常用公式

1.基本公式

（1）0-1律   $A\cdot 0=0$      $A+1=1$
（2）自等律  $A\cdot 1=A$     $A+0=A$
（3）重叠律  $A\cdot A=A$    $A+A=A$
（4）互补律  $A\cdot \overline{A}=0$    $A+\overline{A}=1$
（5）交换律  $A\cdot B=B\cdot A$  $A+B=B+A$
（6）结合律  $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C$
       $A+(B+C)=(A+B)+C$
（7）分配率  $A\cdot (B+C)=AB+AC$
       $A+(B+C)=(A+B)(A+C)$
（8）吸收率  $A\cdot (A+B)=A$    $A+AB=A$
（9）反演律  $\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B}$    $\overline{A+B}=\overline{A}\cdot \overline{B}$
（10）双重否定率  $\overline{\overline{A}}=A$

反演律是其中使用较多的，在化简逻辑表达式时有重要作用

2.基本规则

（1）代入规则

在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边所有出现过的变量都使用一个逻辑函数替代，则此等式仍然成立。
例如：$\overline{A\cdot B}=\overline{A}+\overline{B}$中的$A$使用$F=AC$替代，则原式变为：$\overline{AC\cdot B}=\overline{AC}+\overline{B}=\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}$.依然成立。

（2）反演规则

当我们需要求解一个逻辑函数$F$的反函数$\overline{F}$时，可以使用反演规则。
只需要将$F$中的
$$\cdot 变为+，+变为\cdot ，1变为0，0变为1，变量取反$$
即可.

需要注意的是：变更反变量时，有两个变量以上公用的取反号不变

例如：求$F=A+\overline{B+\overline{C}+\overline{D+\overline{E}}}+(G\cdot H)$的反函数
    $\overline{F}=\overline{A}\cdot \overline{\overline{B}\cdot C\cdot \overline{\overline{D}\cdot E}}\cdot (\overline{G}+\overline{H})$

（3）对偶规则

当我们需要求解一个逻辑函数$F$的对偶式$F^{\prime }$时，
只需要将$F$中的
$$\cdot 变为+，+变为\cdot ，1变为0，0变为1$$
即可.
两个逻辑函数相等$\iff$两个逻辑函数的对偶式相等（充分必要条件）

例如：求$F=A\cdot B+\overline{A}\cdot C+B\cdot C$的对偶式
    $F^{\prime }=(A+B)\cdot (\overline{A}+C)\cdot (B+C)$

3.常用公式

公式1 $AB+A\overline{B}=A$
证明：  $AB+A\overline{B}=A(B+\overline{B})=A$
公式2 $A+A\overline{B}=A+B$
证明：  $A+\overline{A}B=(A+\overline{A})\cdot (A+B)=A+B$
公式3 $AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C$
证明：  $AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C+BC(A+\overline{A})=AB+\overline{A}C+ABC+\overline{A}BC=AB+\overline{A}C$
公式4 $\overline{AB+\overline{A}C}=A\overline{B}+\overline{A}\overline{C}$
证明： 略
公式5 $\overline{A\oplus B}=A\odot B$
证明： 略

四、简单介绍几种使用公式法化简的思路

此处的方法名字都是作者本人自己起的，或许更加符合公式意义

（1）去异型

$A+AB$型，此处$A,B$可以是一个逻辑表达式而非单独的逻辑变量。直接排出式中的“异类”:$B$,剩余的部分作为结果即$A+AB=A$

（2）去非型

$A+\overline{A}B$型，此处$A,B$可以是一个逻辑表达式而非单独的逻辑变量。直接排出式中的“非项”:$\overline{A}$,剩余的部分作为结果即$A+\overline{A}B=A+B$

（3）去反型

$AB+\overline{A}B$型，此处$A,B$可以是一个逻辑表达式而非单独的逻辑变量。直接排出式中的“相反项”:$\overline{A}$和$A$,剩余的部分作为结果即$AB+\overline{A}B=B$

（4）三缺一型

一般用于有三个变量，但在逻辑表达式中每一项只有两个逻辑变量的与或式中，可以在缺少某一逻辑变量的后面与运算$(X+\overline{X})$，$X$表示缺少的那个逻辑变量。
举个简单的例子：$F=A\overline{B}+B\overline{C}$只需要在$A\overline{B}$后与运算一个$(C+\overline{C})$，$B\overline{C}$后与运算一个$(A+\overline{A})$即可。

五、使用卡诺图对逻辑表达式进行化简

1.最小项

想要使用卡诺图进行化简，首先我们需要明白最小项的概念。
在卡诺图中，每一个方格都代表一个最小项。在有$n$个逻辑变量的逻辑函数中，所有变量的乘积项称为最小项。为什么它被称为最小项，是因为每一个变量在其中都只出现了一次，且都是以它本身或者反变量的形式出现的。类比于做排列组合，将每一个变量只可能出现一次的所有可能全部列出，就是它的全部最小项。

例如：两个变量$A,B$的最小项有$2^2=4$个（$AB,A\overline{B},\overline{A}B,\overline{AB}$）

为了方便，使用$m_i$的形式记录最小项。它的记法是：当逻辑变量在最小项中以原变量出现时，记为1；以反变量出现时，记为0.再将其转化为十进制数，这个十进制数是多少，那么$m_i$的下标$i$就为多少。

例如：$\overline{A}BC$记为二进制数为011，而011对应的十进制数为3，故$\overline{A}BC$记为$m_3$

当我们熟悉了最小项的概念之后，我们可以将任何一个逻辑函数转化为最小项的形式，并使用$m_i$的形式表示.
例如：$ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\overline{AB}C=m_7+m_6+m_3+m_1$

2.卡诺图

（1）两变量卡诺图

下图是两变量的卡诺图：

该图表明，$A$和$B$都有两种取值0和1，它们可以组成四种组合，每一种组合都是一个最小项。如果用最小项来表示卡诺图则如下图所示：

可以看到其二进制的值对应最小项$m_i$中的$i$

（2）三变量卡诺图

下面是三变量的卡诺图：

该图表明，$A$,$B$和$C$都有两种取值0和1，它们可以组成八种组合，每一种组合都是一个最小项。如果用最小项来表示卡诺图则如下图所示：

同样也可以看到其二进制的值对应最小项$m_i$中的$i$

（4）四变量卡诺图

给出四变量卡诺图的最小项形式：

其确定的方式与二变量和三变量最小项确定的方式是一致的。

三变量和四变量卡诺图00,01,11,10的排列保证了两两之间的不同数只有一个，满足了相邻的条件

3.卡诺图表示逻辑函数

在我们已知逻辑函数的情况下，可以先将逻辑函数化简为最小项表达式，再把对应最小项的卡诺图中的值填为1，其余的填为0即可,也可以直接根据表达式填写卡诺图；若我们直接知道的就是最小项表达式，则可以直接把卡诺图中的对应位置填1，其余填0。
例如：
$F=ABC+AB\overline{C}+\overline{A}BC+\overline{AB}C=m_7+m_6+m_3+m_1$
我们已知了它的最小项表达形式，则可以直接在空白卡诺图中填入数字，如下图所示：

4.化简方法

（1）合并最小项

我们可以把卡诺图中相邻的8个、4个、2个、1个的最小项圈起来，进行合并。如下图所示：

图中的红色圆圈表示把这两项进行合并，很容易看出它们是相邻的。只得注意的是，卡诺图的边界并不是实际意义上的边界。
例如：

这两种以及其他类似情况都属于两变量合并时的相邻情况

而对于四变量的情况来说，以下两种系列是显而易见的相邻情况：

除此之外，还有以下几种情况也属于四个变量相邻

对于八变量的合并情况有如下几种（包括类似的情况）：

举例：用卡诺图化简$F=\overline{ABCD}+A\overline{BC}D+\overline{A}B\overline{C}+AB\overline{D}+\overline{A}BC+BCD$

把逻辑表达式画在卡诺图中,并按照我们刚才讲解的方式进行合并：

此时，我们只需要把卡诺图上圈起来的部分写成逻辑表达式的形式，再对它们取或操作即可
$F=A\overline{BC}D+\overline{ACD}+\overline{A}B+BC+B\overline{D}$

（2）含有无关项的卡诺图化简

在一些逻辑函数中，变量取值的某些组合所对应的最小项不会出现或不允许出现，这些最小项称为约束项。一般在卡诺图中用"$\times$"表示。在这种情况下化简时，可以借助无关项进行最小项的合并。
举例：
$F(A,B,C,D)=\sum (m_{15},m_{13},m_{10},m_6,m_4)+{\sum }_d(m_8,m_7,m_5,m_2,m_1,m_0)$
可以把无关项当做1来处理进行合并。

然后还是把圈起来的写成逻辑表达式即可。
$F=\overline{A}B+BD+\overline{BD}$

初稿2022/5/5